Diskussion:Wavelet

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

• Eine Funktion kann immer nur Basisfunktion eines eindimensionalen Raumes sein. Ein Wavelet ist die erzeugende Funktion der Wavelet-Transformation (WT). Im Falle der diskreten WT bilden bestimmte Verschiebungen und Stauchungen der Waveletfunktion eine topologische Basis oder zumindest ein topologisches lineares Erzeugendensystem des L².

• Weiterhin ist sicher nicht der Definitionsbereich, sondern der Traeger gemeint. In einer allgemeinen Beschreibung ist das aber falsch. Funktion und Fouriertransformierte sind gegen (+-)Unendlich schnell abfallend, im guenstigsten Fall hat eine von beiden einen beschraenkten Traeger, die gebraeuchlichen FIR-Wavelets haben ihn im Raum, die Meyer-Wavelets in der Frequenz.

• Die deutsche Bezeichnung fuer MRA ist Multiskalenanalyse, zumindest nach Maass & Co.

• Was ist die Dimensionalitaet einer Funktion? Kann eine Fkt. mehrere davon haben? Gemeint ist eher, dass man fuer beliebige Dimensionen des Raumes Waveletbasen definieren kann.

• Alle Wavelets sind fraktal, d.h. deren Skalierungsfunktion in der MRA. Das sieht man nur z.B. den Splines nicht unbedingt an. Betrachtet man Punkte (x,y(x)), wobei und y(x) = (f(x − N),...,f(x + N)), so dass der Traeger von f in [ − N,N + 1] enthalten ist, so gilt y(x / 2) = A₀.y(x) und y((1 + x) / 2) = A₁.y(x), was analog der Konstruktionsvorschrift des fraktalen Bansley-Farns interpretiert werden kann.

• Der Zusammenhang zwischen Filter und Wavelet ist nicht ganz so einfach wie dargestellt. Mache Leute identifizieren sogar lineare Filter mit ihrer Impulsantwort, welche eine Zahlenfolge ist. Ein Wavelet ist, auch hier, eine Funktion.

• Ein Tiefpass loescht hohe Frequenzen und erhaelt kleine, ein Hochpass loescht kleine Frequenzen und erhaelt hohe, ein Bandpass loescht hohe und niedrige Frequenzen und erhaelt die mittleren. Siehe z.B. hier: http://www.ces.ka.bw.schule.de/lehrer/culm/laborgeraete/filter/grundbegriffe.htm

• Die praktische WT besteht in einer Projektion auf einen verschiebungsinvarianten Teilraum, was sich gerade noch so als Tiefpass auffassen laesst und aus einer Funktion eine Zahlenfolge macht. Diese wird nachfolgend mit Tiefpass- und Bandpassfiltern bearbeitet und nach jedem Schritt heruntergetaktet.

• Eine Nyquist-Frequenz im eigentlichen Sinne, d.h. als oberste auftretende Frequenz, haben WT i.A. nicht. Man kann wohl sowas wie eine effektive N-Frequenz definieren, das ist wohl auch mit der Unschaerfe gemeint.

• PR und das, was als Rekonstruktion beschrieben werden soll, sind das gleiche. Diese Untertaktung (Sub- oder Downsampling) steckt schon in der WT drin. Also: 1) Analyse: Zahlenfolge wird einmal mit Tiefpass- und einmal mit Bandpassfilter bearbeitet, beide sich ergebenden Zahlenfolgen werden heruntergetaktet, ueblicherweise mit Faktor 2. 2) Synthese/Rekonstruktion: Beide Zahlenfolgen werden hochgetaktet durch Einschieben von Nullen, dann wieder jeweils mit einem Filter bearbeitet und addiert. Kommt dabei die urspruengliche Folge heraus, so hat dieses Paar von Analyse- und Synthesefilterbaenken die Eigenschaft der perfekten Wiederherstellung (reconstruction). Dies insgesamt bedeutet, dass in keiner Stufe der Bearbeitung Information verlorengeht. Letzteres ist in der verlustfreien Bildkompression wichtig, in anderen Anwendungen weniger.

• Was unter Rekonstruktion angedeutet scheint ist das, was man unter Orthogonalitaet versteht. Die Filter in der Synthese ergeben sich bis auf Zeitumkehr und Vorzeichenaenderungen aus denen in der Analyse. Stellt man die Analyse-WT als Matrix dar, so ist diese Orthogonal, und ihre Transponierte ist die Matrix der Synthese-WT. Unter anderem hat dies den Effekt, dass das Weglassen kleiner Koeffizienten in der Transformierten auch in der rekursiven Anwendung nur kleine Anderungen im rekonstruierrten Signal zur Folge hat, eine wichtige Eigenschaft fuer eine kontrollierte verlustbehaftete Kompression.

• Der im naechsten Schritt beschriebene Kaskaden-Algorithmus erzeugt, zumindest in der gelaeufigen Form, die Skalierungsfunktion und ist zu dem oben angedeuteten fraktalen Algorithmus aequivalent, d.h. erzeugt das gleiche Bild. Die Gestalt des Wavelets laesst sich daraus ableiten. Es koennte auf Wim Sweldens Cascade-Applet verwiesen werden. http://cm.bell-labs.com/who/wim/cascade/

Unter diesen Punkten den Artikel zu editieren wuerde heissen, ihn komplett neu zu schreiben.

Lutz Lehmann, HU Berlin

Sei mutig! Auch der Artikel Wavelet-Transformation braucht eine Ueberarbeitung und ein vernuenftiges Zusammenspiel mit diesem hier. Viele Gruesse --DaTroll 14:05, 29. Jul 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Schwierig

Hi,

ich finde den Artikel auch mit vorhandenem Mathegrundwissen leider nicht verständlich.

Danke, --Abdull 23:35, 2. Nov 2004 (CET)

Das finde ich auch! Den erhofften Überblick, worum es sich dabei eigentlich handelt, habe ich hier nicht gefunden. -- Herbert Lehner 11:21, 23. Jan. 2007 (CET)