Zusammenhang (Differentialgeometrie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Zusammenhang ein Hilfsmittel, um Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen.

[Bearbeiten] Definition: Zusammenhang auf dem Tangentialbündel

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Zusammenhang auf dem Tangentialbündel von $M$ ist eine Abbildung $\nabla$ , die je einem Tangentialvektor $X\in T_pM$ in einem Punkt $p\in M$ und einem in einer Umgebung von $p$ definierten differenzierbaren lokalen Vektorfeld $Y$ einen Tangentialvektor $\nabla_XY$ zuordnet, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$\nabla_XY$ hängt linear und differenzierbar von $X$ ab.
$\nabla_XY$ ist $\mathbb R$ -linear in $Y$ .
$\nabla_X(fY)=Xf\cdot Y+f\cdot\nabla_XY$

für jede in einer Umgebung von

p

definierte, differenzierbare lokale Funktion

f

Ausführlicher formuliert besteht die erste Bedingung aus den folgenden beiden Punkten:

$\nabla_{\lambda_1X_1+\lambda_2X_2}Y =\lambda_1\cdot\nabla_{X_1}Y+\lambda_2\cdot\nabla_{X_2}Y$

für $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$ und $X_1,X_2\in T_pM$

Ist $X$ ein differenzierbares lokales Vektorfeld, so ist $p\mapsto\nabla_{X_p}Y$ ein differenzierbares Vektorfeld.

Die zweite Bedingung bedeutet:

$\nabla_X(\lambda_1Y_1+\lambda_2Y_2)=\lambda_1\cdot\nabla_XY_1 + \lambda_2\cdot \nabla_XY_2$

für $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$ und lokale Vektorfelder

Y 1, Y 2

Die dritte Bedingung entspricht der Produktregel beim Differenzieren. Insgesamt verhält sich ein Zusammenhang also so, wie man es von einem Ableitungsoperator erwartet.

Eine äquivalente Beschreibung charakterisiert Zusammenhänge als Abbildungen $\nabla$ , die zwei lokalen differenzierbaren Vektorfeldern $X, Y$ ein lokales differenzierbares Vektorfeld $\nabla_XY$ zuordnet, so dass $\nabla_XY$ $C^\infty$ -linear in $X$ und $\mathbb R$ -linear in $Y$ ist, und so dass

$\nabla_X(fY)=Xf\cdot Y+f\cdot\nabla_XY$

für lokale differenzierbare Funktionen $f$ gilt. Dabei bedeutet $C^\infty$ -linear, dass $\nabla_XY$ additiv in $X$ ist und

$\nabla_{fX}Y=f\cdot\nabla_XY$

für lokale differenzierbare Funktionen $f$ gilt.

Wichtigstes Beispiel für einen Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der es einem auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten erlaubt, ein Vektorfeld in Richtung eines anderen zu differenzieren.

[Bearbeiten] Definition: Zusammenhang auf einem Vektorbündel

Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $E$ ein Vektorbündel auf $M$ , so ist ein Zusammenhang auf $E$ eine Abbildung $\nabla$ , die einem lokalen differenzierbaren Vektorfeld $X$ eine Abbildung

$\nabla_X\colon C^\infty(E)\to C^\infty(E)$