Algoritmo Húngaro

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EL algoritmo Húngaro es un algoritmo de optimización el cual resuelve problemas de asignación en tiempo $O(n^3\,)$ . La primera versión conocida del metodo Húngaro, fue inventado y publicado por Harold Kuhn en 1955. Este fue revisado por James Munkres en 1957, y ha sido conocido desde entonces como el algoritmo Húngaro, el algoritmo de asignamiento de Munkres, o el algoritmo de Kuhn-Munkres. El algoritmo desarrollado por Kuhn está basado fundamentalmente en los primeros trabajos de otros dos matemáticos Húngaros: Dénes König y Jenő Egerváry. La gran ventaja del metodo de Kuhn es que es fuertemente polinómico (ver Complejidad computacional para más detalles).

El algoritmo construye una solución del problema primal partiendo de una solución no admisible (que corresponde a una solución admisible del dual) haciendola poco a poco más admisible.

Tabla de contenidos

1 Modelado
2 Algoritmo
- 2.1 Ejemplo
3 Bibliografía
4 Enlaces externos
- 4.1 Implementaciones

[editar] Modelado

El algoritmo modela un problema de asignamiento como una matriz de costes n×m, donde cada elemento representa el coste de asignar el enésimo trabajador al emésimo trabajo. Por defecto, el algoritmo realiza la minimización de los elementos de la matriz; de ahí que en caso de ser un problema de minimización de costes, es suficiente con comenzar la eliminación de Gauss-Jordan para hacer ceros (al menos un cero por línea y por columna). Sin embargo, en caso de un problema de maximización del beneficio, el coste de la matriz necesita ser modificado para que la minimización de sus elementos lleve a una maximización de los valores de coste originales. En un problema de costes infinito, el coste inicial de la matriz puede ser remodelado restando a cada elemento de cada línea el valor máximo del elemento de esa línea (o análogamente columna ). En un problema de coste infinito, todos los elementos son restados por el valor máximo de la matriz entera.

[editar] Algoritmo

$(1) \,$ Dada la matriz de costes $C \,$ , se construye $C^\prime\,$ encontrando el valor mínimo de cada fila y restando ese valor a cada elemento de la fila.

$\Rightarrow \; \mathit{C'}_{i,j}=\mathit{C}_{i,j}-\min \mathit{C}_{i,j}$

$( 2 ) \,$ Se encuentra el valor mínimo de cada columna y se resta a cada elemento de la columna.

$\Rightarrow \; \mathit{C'}_{i,j}=\mathit{C'}_{i,j}-\min \mathit{C}_{i,j}$

$(3) \,$ A partir de $\mathit{C'}\,$ se considera "grafo de las igualdades" a $G=(N1,N2,A) \,$ tal que $A \,$ está constituido por todas las copias $({i,j})\,$ tales que $\mathit{C'}_{i,j}=0 \,$ . En otras palabras, verificamos si para todas las filas existe una columna con costo 0 que no ha sido asignada a otra fila.

Determinar sobre $G\,$ un matching $M\,$ de cardinalidad máxima.

si $|\mathit{M}| = |N_1| = |N_2| \Rightarrow \; STOP$

Si todas las filas tienen a lo menos una intersección con costo cero que no ha sido ocupada por otra fila, estamos en el óptimo. Termina el algoritmo.

$(a) \,$ Considero $C^\prime\,$ y se etiquetan las filas que no han sido acopladas o asignadas por el algoritmo de matching máximo.

$(b) \,$ Se etiquetan en $C^\prime\,$ las columnas que tienen los ceros en correspondencia o asignadas a las filas etiquetadas (con *).

$(c) \,$ Etiquetar las filas que no han sido ya etiquetadas y acopladas o asignadas por el algoritmo de matching máximo con las columnas ya etiquetadas (con *).

$(d) \,$ Repetir los pasos $(b) \,$ y $(c) \,$ hasta que no halla más filas o columnas que etiquetar.

$(e) \,$ Borrar las filas etiquetadas y las columnas NO etiquetadas. Para esto puede trazar una linea recta en las columnas y filas borradas.

$(f) \,$ Sea $\delta\,$ el elemento de $C^\prime\,$ de valor mínimo entre aquellos costos no borrados (o tarjados) en el paso anterior.

$(g) \,$ Restar $\delta\,$ a cada elemento no borrado y sumarlo a los elementos doblemente borrados (o donde álla intersección o cruces entre las lineas marcadas en el paso $(e) \,$ )

$(h) \,$ Volver al paso $(1) \,$ .

[editar] Ejemplo

En un cierto punto del algoritmo tenemos el grafo $G \,$ y la matriz $C^\prime\,$ .

matching maximo del grafo de las igualdades.

$C'=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

En $G \,$ tengo un arco $\Longleftrightarrow \;$ tengo un $0 \,$ en $C^\prime\,$ .

$M =\{ (1,5'), (2,5'), (4,1'), (5,4') \}\,$ es matching máximo pero no es perfecto, pues la fila 3 está sin asignar. $\Rightarrow \;$ volvemos al paso $(3) \,$ del algoritmo.

$(a) \,$

$\begin{pmatrix} & & & & & \\ & 1 & 2 & 7 & 3 & 0 \\ & 3 & 4 & 1 & 0 & 2 \\ \star \; & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 \\ & 0 & 6 & 1 & 1 & 0 \\ & 2 & 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow \;$

$(b) \,$

$\begin{pmatrix} & & & & \star\;& \star\;\\ & 1 & 2 & 7 & 3 & 0 \\ & 3 & 4 & 1 & 0 & 2 \\ \star \; & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 \\ & 0 & 6 & 1 & 1 & 0 \\ & 2 & 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow \;$

$(c) \,$ El matching de las columnas $4'\,$ y $5'\,$ esta acopladas al de las filas $1\,$ y $2 \Rightarrow \;$

$(d) \,$

$\begin{pmatrix} & & & & \star\;& \star\;\\ \star \; & 1 & 2 & 7 & 3 & 0 \\ \star \; & 3 & 4 & 1 & 0 & 2 \\ \star \; & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 \\ & 0 & 6 & 1 & 1 & 0 \\ & 2 & 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow \;$

$(e) \,$

$\begin{pmatrix} & & & & \star\;& \star\;\\ \star \; & 1 & 2 & 7 & & \\ \star \; & 3 & 4 & 1 & & \\ \star \; & 2 & 3 & 6 & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{pmatrix}$ $\Rightarrow \;$

$(f) \,$

$\delta =min \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}= 1$

$(g) \,$ Resto $\delta\,$ a los elementos no borrados de $C^\prime\,$ y sumo $\delta\,$ a los elementos doblemente borrados de $C^\prime\,$ .

$C'=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 6 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow \;$

$(h) \,$ Volvemos al paso $(1) \,$ , para recrear el grafo de las igualdades y calcular de nuevo el matching máximo.

[editar] Bibliografía

Harold W. Kuhn, "The Hungarian Method for the assignment problem", Naval Research Logistic Quarterly, 2:83-97, 1955. Kuhn's original publication.
Harold W. Kuhn, "Variants of the Hungarian method for assignment problems", Naval Research Logistic Quarterly, 3: 253-258, 1956.
J. Munkres, "Algorithms for the Assignment and Transportation Problems", Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 5(1):32-38, 1957 March.