Discusión:Conjunto de Cantor
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[editar] CONJUNTO DE CANTOR
En el artículo Conjunto de Cantor se afirma lo siguiente "El conjunto de Cantor está en biyección con el segmento [0, 1]: tiene tantos elementos como él".
Creo que es un error.
La aplicación a la alude el artículo "a cada número escrito con sólo ceros y dos se le hace corresponder el número en base dos obtenido remplazando todos sus dos por unos" es en realidad suprayectiva.
Por ejemplo, la imagen de 1/3 y 2/3 es la misma: 1/2.
Claramente, la imagen de 2/3 = 0,2 (en base 3) es 0,1 (en base 2), es decir, 1/2
Si ahora consideramos 1/3 = 0,02222222... (en base 3)[*], su imagen será 0,011111111... (en base 2), es decir 1/2.
Lo mismo ocurre para 1/9 y 2/9, etc.
[*]Recordemos que en base 10,se tiene que 0,999999...... = 1.
--Anatoli1024 05:24 31 dic 2006 (CET)
Por otra parte, como el conjunto de cantor es un subconjunto de [0, 1], su cardinalidad es no-mayor que la de [0, 1] [*], por tanto por la prueba anterior y esta, se deduce que ambas cardinalidades son iguales.
[*] Ahora podemos establecer una relacion suprayectiva en dirección contraria: de [0, 1] al conjunto de cantor. La relación podria ser: X pertenecietne a [0, 1] se corresponde con X, si X pertenece al conjunto de cantor, y si no se correcponde con 0.
WikiCholi 13:37 20 ene 2007 (CET)
¿lógico? "Por lo tanto el conjunto de Cantor mide cero. Y es lógico, porque no contiene ningún intervalo, los hemos destruido sistemáticamente."
¿Es lógico por eso? Hay muchos conjuntos de medida total que no contienen ningún intervalo, y me parece lógico que tengan medida total (por ejemplo, los irracionales). BrunoX 19:21 16 feb 2007 (CET)
En mi opinión sí que es lógico. Efectivamente, la longitud está definida para objetos de dimensión 1. Para objetos de dimensión superior hablamos de superficie, volumen. En el caso del conjunto de Cantor se trata de un conjunto de puntos, de dimensión topológica 0, por lo que la longitud es exactamente cero, igual que podemos asegurar que la superficie de una curva es cero.
