Coseno

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En trigonometría el coseno (abreviado cos) se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen.

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

Representación de la función coseno, denominada cosinusoide.

Tabla de contenidos

1 Coseno de una suma o resta
2 Coseno de un angulo doble
3 Coseno del angulo medio
4 Transformación de una suma de cosenos en producto
5 Derivada del Coseno
6 Véase también

[editar] Coseno de una suma o resta

Sean $φ$ y $\theta \in \mathbb{R}$ Entonces:

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Si hacemos

$\cos \left(\phi +(- \theta \right))=cos (\phi)cos(-\theta)-sin(\phi)sin(-\theta)$

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale.

$\cos \left(\phi -\theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)+sin(\phi)sin(\theta)$

[editar] Coseno de un angulo doble

Tenemos que

$\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)$

Hagamos $θ = φ$ Entonces

$cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

[editar] Coseno del angulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea $\alpha, \phi \in \mathbb{R}$

Como $cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)$

la podemos escribir como

$cos \left(2\phi \right) =1-2sin^2(\phi)$

Sea $\phi=\frac{\alpha}{2}$

Entonces obtenemos

$|cos(\frac{\alpha}{2})|=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

$cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}$

[editar] Transformación de una suma de cosenos en producto

$Cos(\phi)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\phi + \theta}{2})cos(\frac{\phi - \theta}{2})$

Demostración

Tomemos $\alpha\,\beta\,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$

Entonces

$Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=cos (\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+cos (\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$

$Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=2cos (\alpha)cos(\beta)$

Hagamos $θ = α + β$ y $φ = α - β$

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

$\alpha\ =\frac{\theta + \phi}{2}$

$\beta\ =\frac{\theta - \phi}{2}$

Reemplazando se obtiene

$Cos \left(\phi \right)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\theta + \phi}{2})cos(\frac{\theta - \phi}{2})$

Análogamente se demuestra para

$Cos(\phi)-Cos(\theta)=-2Sin(\frac{\phi + \theta}{2})Sin(\frac{\theta - \phi}{2})$

[editar] Derivada del Coseno

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

lo que es

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h) - \cos(x)}{h}$

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)- \cos(x)}{h}$

Factorizando

$\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x\cdot((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}$

y resolviendo obtenemos

$\cos' \left(x \right)= -\sin(x)$

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../c/o/s/Coseno.html"

Categoría: Trigonometría

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Tabla de contenidos

[editar] Coseno de una suma o resta

[editar] Coseno de un angulo doble

[editar] Coseno del angulo medio

[editar] Transformación de una suma de cosenos en producto

[editar] Derivada del Coseno

[editar] Véase también

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