Distribución uniforme

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En estadística la distribución uniforme es una distribución de probabilidad cuyos valores tienen la misma probabilidad.

Tabla de contenidos

1 Distribución uniforme para va discreta
2 Distribución uniforme para va continua
3 Función de distribución acumulada para va continua
4 Simulación

[editar] Distribución uniforme para va discreta

Distribución uniforme. Caso discreto.

Su distribución de probabilidad es en el caso discreto con valores posibles $x_1, x_2\ldots x_n$

$p(x_i)=\frac{1}{n}$ .

Su función de distribución es en el caso discreto

$F(x)=\sum_{\forall i \mbox{ con } x \leq x_i} 1/n$

Su media estadística es $\sum x_i/n$ .

Ejemplo para va discreta

Para un dado perfecto todos los resultados tienen la misma probabilidad $1 / 6$ . Luego, la probabilidad de que al lanzarlo caiga 4 es $1 / 6$ .

Para una moneda honesta o legal, todos los resultados tienen la misma probabilidad $1 / 2$ . Luego, la probabilidad de que al lanzarlo caiga un sol es $1 / 2$ .

[editar] Distribución uniforme para va continua

Distribución uniforme. Caso continuo.

Se dice que una va $X$ continua tiene una distribución uniforme en el intervalo $[a, b]$ si la función de densidad de probabilidad (FDP) es

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b - a} & \ \ \mbox{para }a \leq x \leq b \\ 0 & \ \ \mbox{para el resto} \end{matrix}\right.$

La función de distribución en el caso continuo entre $a$ y $b$ es

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{para }x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \ \ \ \mbox{para }a \le x < b \\ 1 & \mbox{para }x \ge b \end{matrix}\right.$

Su media estadística es $(a + b) / 2$ y su varianza $(b - a) 2 / 12$ .

Proposición:

Si $X$ es una va continua, entonces para cualquier número $c$ , $P (X = c) = 0$ , además para cualesquiera dos números $a$ y $b$ con $a \leq b$ ,

$P(a \leq X \leq b)=\left\{\begin{matrix} P(a < X \leq b)\\ P(a \leq X < b)\\ P(a < X < b) \end{matrix}\right.$

Es decir, la probabilidad asignada a cualquier valor particular es cero, y la probabilidad de un intervalo no depende de si cualquiera de sus puntos finales está incluido.

Ejemplo para va continua

La tecla RANDOM de la calculadora arroja números al azar entre cero y uno. La distribución de esos números simula ser una distribución uniforme continua entre 0 y 1.

[editar] Función de distribución acumulada para va continua

La función de distribución acumulada $F (x)$ para una va $X$ continua está definida para cualquier número $X$ por

$F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(x)\, dx$

Para cada $x$ , $F (x)$ aumenta suavemente a medida que $x$ aumenta.

[editar] Simulación

La distribución uniforme entre 0 y 1, mencionada en el ejemplo anterior, tiene una aplicación muy importante en simulación. Si se desea simular valores de una distribución cualquiera, el procedimiento es, básicamente, el siguiente: Se toma la función de distribución acumulada de la distribución a simular, y se construye su inversa. Luego se simulan valores uniformes entre 0 y 1, y se aplica la función inversa hallada a esos valores. De esta manera se obtienen los valores de cualquier distribución deseada. Simulación ...

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