Grado de una extensión

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Tabla de contenidos

1 Extensión de un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.
2 Definición del grado de una extensión.
3 Teorema de transitividad del grado.
4 Extensiones algebraicas y trascendentes.

[editar] Extensión de un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.

Dada una extensión de cuerpos $L : K$ , podemos pensar en $L$ como en un espacio vectorial sobre el cuerpo $K$ : en efecto, por definición de cuerpo, $(L, + )$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares $\cdot: K \times L \longrightarrow L$ como una restricción a $K \times L$ del producto en $\cdot: L \times L \longrightarrow$ . De esta forma es inmediato que se cumple que:

$a \cdot (\alpha + \beta)= (a \cdot \alpha) + (a \cdot \beta)$ ,

$(a+b) \cdot \alpha = (a \cdot \alpha) + (b \cdot \alpha)$ ,

$(a \cdot (b \cdot \alpha))= (a \cdot b) \cdot \alpha$ ,

$1 \cdot \alpha = \alpha$ ,

cualesquiera que sean $a,b \in K$ y $\alpha,\beta \in L$ . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en $L$ y a que $K \subset L$ , la tercera se debe a que el producto es asociativo en $L$ , y la cuarta se debe a que $K$ es subcuerpo de $L$ , por lo que el elemento unidad de $L$ es el elemento unidad de $K$ .

[editar] Definición del grado de una extensión.

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de $L$ como espacio vectorial sobre $K$ , denotado por $d i m K (L)$ . Se denomina grado de la extensión $L : K$ a la dimensión de $L$ como $K$ -espacio vectorial: $[L : K] = d i m K (L)$ .

[editar] Teorema de transitividad del grado.

Sea $L$ una extensión de $K$ , y sea $E$ un subcuerpo de $L$ que es a su vez extensión de $K$ . Entonces se cumple que $[L : K] = [L : E][E : K]$ .

Demostración:

Sea $\{l_i: i \in I\}$ una base del $E$ -espacio vectorial $L$ (es decir, consideramos $L$ como un espacio vectorial sobre el cuerpo $E$ , y obtenemos una base) y $\{e_j:j \in J\}$ una base del $K$ -espacio vectorial $E$ . Sea $l \in L$ un elemento arbitrario. Existirá una única combinación lineal (que será finita, nosotros consideramos aquí que los coeficientes de la combinación lineal son eventualmente nulos) de tal manera que $l=\sum_{i \in I}\alpha_i \cdot l_i$ , siendo cada $\alpha_i \in E$ . De la misma forma, existirá una única combinación lineal (cuyos coeficientes serán eventualmente nulos) de tal manera que tenemos que para cada $i \in I$ es $\alpha_i=\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j$ , siendo cada $\beta_{i,j} \in K$ .

$l=\sum_{i \in I}\alpha_i \cdot l_i = \sum_{i \in I}(\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j) \cdot l_i= \sum_{i \in I}\sum_{j \in J}\beta_{i,j} (\cdot e_j \cdot l_i)$ .

Esto demuestra que $\{e_j \cdot l_i: j \in J, i \in I\}$ es un sistema generador del $K$ -espacio vectorial $L$ .

Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal $0=\sum_{i \in I}\sum_{j \in J}\beta_{i,j} (\cdot e_j \cdot l_i)= \sum_{i \in I}(\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j) \cdot l_i$ . Como $\{l_i: i \in I\}$ es base del $E$ -espacio vectorial $L$ y $\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j \in E$ cualquiera que sea el $i \in I$ , tenemos que ha de ocurrir que en cada $i \in I$ sea $\sum_{j \in J}\beta_{i,j} \cdot e_j=0$ . Ahora bien, como $\{e_j:j \in J\}$ es base del $K$ -espacio vectorial $E$ , entonces ha de ser $b i, j = 0$ , cualesquiera que sean el $i \in I$ y el $j \in J$ . Así pues, $\{e_j \cdot l_i: j \in J, i \in I\}$ es una familia libre del $K$ -espacio vectorial $L$ , con lo cual es una base de $L$ como K-espacio vectorial, y su cardinal es $dim_K(L)=dim_E(L) \cdot dim_K(E)$ .

[editar] Extensiones algebraicas y trascendentes.

El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.

Si una extensión L:K es trascendente, existirá al menos un $\alpha \in L \setminus K$ de manera que $α$ sea un elemento trascendente sobre $K$ . Así pues, $K(\alpha) \subset L$ , luego $[L:K]=dim_K(L)\geq dim_K(K(\alpha))$ . Pero como $K(\alpha) \cong K(x)$ (por ser $α$ trascendente sobre $K$ ), y por otro lado $K[x] \subset K(x)$ (con lo que $dim_K(K[x]) \leq dim_K(K(x))$ ) y $dim_K(K[x])= \infty$ , resulta que $[L:K]=dim_K(L)\geq dim_K(K(\alpha))=dim_K(K(x)) \geq dim_K(K[x])) = \infty$ .

Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.

Si $[L : K] = 1$ , será entonces $L = K$ . Si tomamos un elemento $\alpha \in L\setminus K$ que sea algebraico sobre $K$ , entronces existirá un polinomio mónico irreducible $p=m_{\alpha}^K$ de manera que $K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(p)}$ . Si $d e g (p) = n$ , entonces ${1 + (p), x + (p),..., x n - 1 + (p)}$ es una base de $\frac{K[x]}{(p)}$ , con lo cual $[K(\alpha):K]= dim_K(K(\alpha))= dim_K(\frac{K[x]}{(p)})= n =deg(p)=deg(m_{\alpha}^K)$ .