No linealidad

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En matemáticas, los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.

La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados. Desde que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.

En los sistemas no lineales se encuentran fenómenos como los efectos del caos, atractores extraños y ondas raras. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de interés general han sido extensamente estudiados, la vasta mayoría son pobremente comprendidos.

Tabla de contenidos

1 Trasfondo
- 1.1 Sistemas lineales
- 1.2 Sistemas no lineales
2 Ecuaciones no lineales específicas
3 Herramientas para la solución de ciertas ecuaciones no lineales
4 Ejemplo de ecuaciones no lineales
5 Véase también

[editar] Trasfondo

[editar] Sistemas lineales

Artículo principal: Aplicación lineal

En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.

Aditividad: $f(x + y) = f(x) + f(y) \$
Homogeneidad: $f(\alpha\,x) = \alpha\,f(x) \$

Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de Superposición.

[editar] Sistemas no lineales

Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos físicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Una ecuación lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuación lineal en algún valor desconocido de u tiene la forma

$Lu = 0 \,$

Una ecuación no lineal es una ecuación de la forma:

$F(u)=0 \,$

Para algún valor desconocido de u.

Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en qué espacio matemático se encuentra la solución u. Podría ser que u es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.

Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.

Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.

[editar] Ecuaciones no lineales específicas

Algunas ecuaciones no lineales son bien comprendidas, por ejemplo:

$y = x 2 - 1$

Y otras ecuaciones polinomiales.

Sin embargo, los sistemas de ecuaciones no lineales son mucho más complejos. Similarmente, ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, tal como:

$d x u = u 2$

son fácilmente resueltas (en este caso por separación de variables). Las ecuaciones diferenciales de orden superior, tales como:

$d x^2 u + g \left ( u \right ) = 0$

donde g es una función no lineal, son mucho más desafiantes.

Para las ecuaciones diferenciales parciales, el panorama es aún peor, ya que, aunque un número de resultados indique la existencia de soluciones, la estabilidad de una solución y la dinámica de las soluciones tienen que ser probadas.

[editar] Herramientas para la solución de ciertas ecuaciones no lineales

Al dia de hoy, existen muchas herramientas para analizar ecuaciones no lineales, por mencionar algunas tenemos: teorema de la función implícita y la teoría de la bifurcación