Kasvav funktsioon ja kahanev funktsioon

Allikas: Vikipeedia

Sellele artiklile on ümbersuunamine artiklist Monotoonne funktsioon. See artikkel kõneleb monotoonsest reaalmuutuja funktsioonist, nii nagu seda käsitletakse matemaatilises analüüsis; monotoonse funktsiooni üldistuse kohta suvalistele osaliselt järjestatud hulkadele vaata artiklit Monotoonne kujutus (pane tähele, et mõistet "monotoonne" kasutatakse reaalmuutuja funktsiooni ning üldise järjestatud hulkadel määratud kujutuse korral veidi erinevas tähenduses: monotoonne kujutus reaalarvude hulgal on sama, mis mittekahanev funktsioon).

Matemaatilises analüüsis nimetatakse funktsiooni rangelt kasvavaks (ehk sageli lihtsalt kasvavaks), kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb, ning rangelt kahanevaks (ehk lihtsalt kahanevaks), kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Funktsiooni nimetatakse mittekahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kahane, ning mittekasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kasva. Mittekahanevaid ja mittekasvavaid funktsioone nimetatakse monotoonseteks.

Sisukord

1 Definitsioon
- 1.1 Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas
- 1.2 Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis punktis
2 Diferentseeruva funktsiooni monotoonsusomadused
3 Vaata ka
4 Viited

[redigeeri] Definitsioon

Olgu A ja B mingid reaalarvude hulgad. Olgu f mingi funktsioon hulgast A hulka B. Siis funktsiooni f nimetatakse

rangelt kasvavaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) < f(y),
rangelt kahanevaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) > f(y),
mittekahanevaks ehk monotoonselt kasvavaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≤ f(y),
mittekasvavaks ehk monotoonselt kahanevaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≥ f(y).

Kui funktsioon on mittekahanev või mittekasvav, nimetatakse teda monotoonseks. Kui funktsioon on rangelt kasvav või kahanev, nimetatakse teda rangelt monotoonseks. On ilmne, et iga rangelt monotoonne funktsioon on monotoonne, aga mitte vastupidi.

Enamasti nimetatakse rangelt kasvavat ja rangelt kahanevat funktsiooni vastavalt ka lihtsalt kasvavaks ja kahanevaks, mõnedes allikates aga nimetatakse kasvavaks ja kahanevaks aga vastavalt mittekahanevat ja mittekasvavat funktsiooni.

Tekstides, kus kasutatakse mõisteid "mittekasvav" ja "mittekahanev", eeldatakse, et mõisted "kasvav" ja "kahanev" tähendavad vastavalt ranget kasvamist ja kahanemist. Siinjuures tuleb tähele panna, et väited funktsioon f on mittekahanev ning funktsioon f ei ole kahanev ei ole samaväärsed: funktsioon, mis ei ole kahanev, ei pea veel olema mittekahanev (vastupidine järeldus mittekahanev ⇒ ei ole kahanev küll kehtib, kui hulgas A on rohkem kui üks element). Väljendit funktsioon f on mittekahanev tuleks mõista pigem nii: argumendi kasvades funktsiooni f väärtus kunagi ei kahane või nii: funktsioon f ei ole kahanev oma määramispiirkonna üheski vähemalt kaheelemendilises alamhulgas (vt. alajaotust Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas). Samamoodi ei ole väide funktsioon f on mittekasvav samaväärne väitega funktsioon f ei ole kasvav.

Erijuhul, kui A on kõigi naturaalarvude hulk, siis funktsioon f määrab ära jada ning saame eelnevast rangelt kasvava, rangelt kahaneva, mittekahaneva, mittekahaneva, monotoonse ja rangelt monotoonse jada definitsioonid.

[redigeeri] Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas

Sageli kõneldakse funktsiooni kasvamisest ja kahanemisest mingis tema määramispiirkonna A alamhulgas X. Seda mõistetakse järgmiselt: funktsiooni f nimetatakse rangelt kasvavaks, rangelt kahanevaks, mittekahanevaks või mittekasvavaks hulgas X, kui funktsiooni f ahend hulgale X on vastavalt rangelt kasvav, rangelt kahanev, mittekasvav või mittekahanev.

Üks ja sama funktsioon võib seega olla oma lähtehulga ühes alamhulgas kasvav, teises kahanev.

[redigeeri] Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis punktis

Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna sisepunkt. Funktsiooni f nimetatakse

kasvavaks kohal a, kui punkti a mingis vasakpoolses ümbruses f(x)<f(a) ning mingis parempoolses ümbruses f(x)>f(a),
kahanevaks kohal a, kui punkti a mingis vasakpoolses ümbruses f(x)>f(a) ning mingis parempoolses ümbruses f(x)<f(a) ^[1].

[redigeeri] Diferentseeruva funktsiooni monotoonsusomadused

Olgu funktsioon f on diferentseeruv mingis oma määramispiirkonna sisepunktis a. Siis kehtivad järgnevad väited (need tulenevad otse piirväärtuse monotoonsusest):

kui f'(a) > 0, siis funktsioon f kasvab kohal a,
kui f'(a) < 0, siis funktsioon f kahaneb kohal a.

Olgu funktsioon f pidev mingis lõigus [a, b] ning diferentseeruv vahemikus (a, b). Lagrange'i keskväärtusteoreemist ja piirväärtuse monotoonsusest saab siis lihtsasti tuletada järgmised väited:

kui funktsiooni f tuletis on positiivne vahemikus (a, b), siis funktsioon f on rangelt kasvav lõigus [a, b],
kui funktsiooni f tuletis on negatiivne vahemikus (a, b), siis funktsioon f on rangelt kahanev lõigus [a, b],
funktsioon f on lõigus [a, b] mittekasvav parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on mittepositiivne vahemikus (a, b)
funktsioon f on lõigus [a, b] mittekahanev parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on mittenegatiivne vahemikus (a, b).

Siinjuures tuleb tähele panna, et neist neljast väitest esimese kahe puhul kehtib järeldumine vaid ühes suunas - näiteks funktsioon f(x)=x³ on küll rangelt kasvav kogu reaalteljel, kuid tema tuletis punktis 0 on 0.