Kera

Allikas: Vikipeedia

Kera on elementaarmatemaatikas ruumi antud punktist O teatud kaugusel r>0 või lähemal olevate punktide hulka. Allpool on juttu ka kera mõiste variantidest ja üldistustest matemaatikas.

Punkti O nimetatakse kera keskpunktiks ja positiivset reaalarvu r kera raadiuseks. Kera on seega punktihulk, milles ühegi punkti X kaugus kera keskpunktist O ei ole suurem kui kera raadius r:

{X | OX ≤ r}

Kera pinnaks nimetatakse kera keskpunktist O täpselt kaugusel r olevate punktide hulka. Kera pind on sfäär ehk kerapind.

Kera diameeter on sirglõik, mis ühendab kaht kerapinna ehk sfääri punkti ja läbib kera keskpunkti. Kõik diameetrid on võrdse pikkusega.

Kera võib defineerida ka sfääri kaudu: kera on sfäär koos punktidega, mille kaugus sfääri keskpunktist on väiksem kui sfääri raadius (kera raadius). Sel juhul langeb kera keskpunkt kokku sfääri keskpunktiga ja kera raadius sfääri raadiusega. Sfäär osutub niiviisi defineeritava kera pinnaks.

Niiviisi defineeritud kera nimetatakse ka kinniseks keraks. Lahtine kera erineb kinnisest kerast selle poolest, et kera pinna punktid ei ole selle elemendid: lahtine kera on punktihulk, milles kõikide punktide X kaugused kera keskpunktist O on väiksemad kui kera raadius r:

{X | OX < r}

[redigeeri] Kera kui pöördkeha

Kera tekib ringi pöörlemisel ümber oma diameetri, seega on kera pöördkeha. Et kera piirav pind sfäär on pöördpind, siis kera on pöördkeha. Sfääri keskpunkt, raadius ja diameeter on ühtlasi ka kera keskpunktiks, raadiuseks ning diameetriks.

[redigeeri] Kera tasapinnalised lõiked

Kera iga tasapinnaline lõige on ring. Mida lähemal on lõiketasand kera keskpunktile, seda suurem on lõikeringi raadius. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis on lõikeringi raadiuseks kera raadius ja lõiget nimetatakse suurringiks. Kõiki teisi lõikeid nimetatakse väikeringideks. Kaht kerapinna punkti, mis ei ole ühe diameetri otspunktideks, läbib ainult üks suurringjoon.

Kera lõikav tasand jaotab ta kaheks kera segmendiks ja kerapinna kaheks sfääri segmendiks. Kera segmendi põhjaks on kera lõige. Mõlema segmendi kõrguseks on segmendi põhjaga ristuv lõik põhja keskpunktist sfäärini. Sfääri osa kahe paralleelse lõiketasandi vahel nimetatakse kera vööks ja kera osa samade tasandite vahel kera kihiks. Lõiketasandite vaheline kaugus on kihi kõrgus.

[redigeeri] Kera puutujatasand

Tasandit, millel on kerapinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse kera puutujatasandiks selles punktis. Puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.

[redigeeri] Sfääri pindala

Sfääri pindalaks nimetatakse piirväärtust, millele läheneb sama diameetri ümber pöörleva korrapärase kõõlmurdjoone poolt kujundatud pinna pindala, kui selle murdjoone lülide arv tõkestamatult kasvab. Murdjoone lülide arvu tõkestamatul suurendamisel on apoteemi m piirväärtuseks raadius r. Seega saab arvutada sfääri pindala järgmise valemi järgi:

S = 4π r²

[redigeeri] Kera ruumala

Kera ruumala võrdub ühe kolmandikuga kera pindala ja raadiuse korrutisest.

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

[redigeeri] n-mõõtmeline kera

n-mõõtmelises eukleidilises ruumis Eⁿ nimetatakse lahtiseks keraks B_r(p) punktist p (kera keskpunktist) väiksemal kaugusel kui r (kera raadius) olevate punktide hulka.

[redigeeri] Kera meetrilises ruumis

Olgu $X$ meetriline ruum, kus punktide x ja y vaheline kaugus on ρ(x,y). Olgu $a \in X$ ja $r > 0$ . Hulka $B(a,r)=\left\{x\in X :\rho(x,a) < r\right\}$ nimetatakse lahtiseks keraks ning hulka $\bar{B}(a,r)=\left\{x\in X :\rho(x,a) \le r\right\}$ kinniseks keraks. Elementi $a$ nimetatakse kera keskpunktiks ja arvu $r$ kera raadiuseks.