Karakteristinen polynomi

Wikipedia

Karakteristinen polynomi on naliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi pitää sisällää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksi, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

[muokkaa] Motivaatio

Annettulle neliömatriisille A on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat A:n ominaisarvot. Lävistäjämatriisille A karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa a_{i, on karakteristinen polynomi muotoa}

_{Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.}

_{Yleisen matriisin A tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos λ on A:n ominaisarvo, on olemassa ominaisvektori v≠0 siten, että}

_,

_tai

_,

_{missä I on yksikkömatriisi. Koska vektori v on nollasta poikkeava, on matriisi (A − λI) singulaarinen, jolloin sen determinantti on 0. Tämän determinantista saadun polynomin}

_{juuret ovat A:n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.}

_{[muokkaa] Formaali määritelmä}

_{Olkoon K kunta ja A K-kertoiminen n×n-matriisi. A:n karakteristinen polynomi pA(t) on määritelmän mukaan}

,

missä I on n×n yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla det(A − tI). Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -1:llä.

[muokkaa] Esimerkki

Lasketaan matriisin

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

Tämä determinantti on

Tämä on A:n karakteristinen polynomi, missä t on matriisin ominaisarvo.