Kolmiomatriisi

Wikipedia

Lineaarialgebrassa kolmiomatriisi on neliömatriisin erikoistapaus. Kolmiomatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovat kaikki nollia.

Koska matriisiyhtälöt ovat kolmiomatriisien tapauksessa helppo ratkaista, ne ovat käyttökelpoisia numeerisessa analyysissä. LU-hajotelma antaa algoritmin, jolla jokainen kääntyvä matriisi A voidaan hajottaa alakolmiomatriisin L ja yläkolmiomatriisin U tuloksi.

[muokkaa] Määritelmä

Matriisia

$\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & & \\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}$

sanotaan alakolmiomatriisiksi eli vasemmaksi kolmiomatriisiksi, ja toisaalta matriisia muotoa

$\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0 & & & & u_{n,n} \end{bmatrix}$

sanotaan yläkolmiomatriisiksi tai oikeaksi kolmiomatriisiksi.

Kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia, on vahvasti ala-tai yläkolmiomatriiseja. Kaikki kolmiomatriisit ovat nilpotentteja matriiseja.

Jos kolmiomatriisin päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on matriisi yksikköylä/alakolmiomatriisi eli normitettu ylä/alakolmiomatriisi. Jos lisäksi kaikki muut kuin lävistäjäalkiot ovat yhtä lukuun ottamatta nollia, on matriisi atominen ylä/alakolmiomatriisi. Tätä matriisia sanotaan Gaussin muunnosmatriisiksi tai lyhyemmin Gaussin matriisiksi. Atominen alakolmiomatriisi on muotoa

$\mathbf{L}_{i} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & 0 \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & l_{i+1,i} & \ddots & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ 0 & & l_{n,i} & & & 1 \\ \end{bmatrix}.$

Atomisen kolmiomatriisin käänteismatriisi on atominen kolmiomatriisi. Tarkemmin,

$\mathbf{L}_{i}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & 0 \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & &-l_{i+1,i} & \ddots & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ 0 & & -l_{n,i} & & & 1 \\ \end{bmatrix},$

eli käänteismatriisin ne alkiot, jotka eivät ole päälävistäjällä, ovat alkuperäisen matriisin käänteislukuja.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../k/o/l/Kolmiomatriisi.html

Luokka: Lineaarialgebra

Kolmiomatriisi

Wikipedia

[muokkaa] Määritelmä

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä