Kombinaatio

Wikipedia

Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden kombinaatio on joukon alijoukko. k-kombinaatio on joukon S alijoukko, jossa on k kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole väliä kombinaatioissa - kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä esittävät samaa kombinaatiota.

k-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "n yli k:n", joka kirjoitetaan yleensä

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

Sisällysluettelo

1 Esimerkkejä
- 1.1 Esim. 1.
- 1.2 Esim. 2.
2 Katso myös

[muokkaa] Esimerkkejä

[muokkaa] Esim. 1.

C(7, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa seitsemän henkilön joukosta. Lasketaan se:

${7 \choose 3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35.$

[muokkaa] Esim. 2.

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan k numeroa oikein $(0 \le k \le 7)$ :

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaa laskemalla kaikki 7:n oikean numeron k-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita k numeroa (muista, että k on korkeintaan 7):

${7 \choose k}$

Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

${7 \choose k} {32 \choose 7-k}$

siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen k numeroa oikein ja 7-k väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä ${39 \choose 7}$ :

${7 \choose k} {32 \choose 7-k} : {39 \choose 7}$

Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on

${7 \choose 5} {32 \choose 7-5} : {39 \choose 7} = {7 \choose 5} {32 \choose 2} : {39 \choose 7} = 21 \cdot 496 : 15 380 937 = 10416 : 15 380 937 = 1 : 1476 = 0.00067$