Équation de la chaleur

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En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, introduite initialement en 1811 par Fourier pour décrire le phénomène physique de conduction thermique.

Sommaire

1 Équation de la chaleur
2 Autres phénomènes physiques
3 Généralisations
4 Articles liés
5 Bibliographie
6 Notes

[modifier] Équation de la chaleur

Soit $\Omega \subset \mathbb R^3$ un domaine à bord $\partial \Omega$ . Soit T(x,t) le champ de température sur ce domaine. En l'absence des sources thermiques^[1] dans le domaine, l'équation de la chaleur s'écrit :

$\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial t} \ = \ D \ \Delta T(x,t)$

où $Δ$ est l'opérateur Laplacien, et D une constante appelée coefficient de diffusion thermique. Pour que le problème soit mathématiquement bien posé, il faut en général spécifier :

une condition initiale : $\forall \, x \, \in \, \Omega \, , \quad T (x,0) \ = \ T_0(x)$ ;
une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple :

Dirichlet : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad T (x,t) \ = \ 0$ ;
ou Neumann : $\forall \, x \, \in \, \partial \Omega \, , \quad \frac{\partial T (x,t)}{\partial n} \ = \ \vec{n}(x) \cdot \vec{\nabla} T(x,t) \ = \ 0$ , où $\vec{n}(x)$ est le vecteur normale unitaire au point x.

[modifier] Autres phénomènes physiques

Il est intéressant de remarquer que l'équation de la chaleur, introduite initialement pour décrire la conduction thermique, apparait également dans d'autres branches de la physique théorique. Elle permet par exemple de décrire :

le phénomène de diffusion ;
certains aspects probabilistes du mouvement brownien ;

Enfin, il existe un lien avec la mécanique quantique non-relativiste : l'équation de la chaleur apparait en effet comme une équation de Schrödinger en temps imaginaire. Loin d'être une simple curiosité, cette propriété autorise des développements intéressants, car il est souvent plus facile mathématiquement de travailler avec l'équation de la chaleur qu'avec l'équation de Schrödinger.

[modifier] Généralisations

L'équation de la chaleur s'étend naturellement :

dans $\mathbb R^n$ pour n quelconque ;
sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l'opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien.

[modifier] Articles liés

[modifier] Bibliographie

Joseph Fourier ; Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot Père et Fils (Paris-1822). Réédition Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-046-2.
Jean Dhombres & Jean-Bernard Robert ; Fourier, créateur de la physique mathématique, collection « Un savant, une époque », Belin (1998), ISBN 2-7011-1213-3.

[modifier] Notes

↑ Par exemple, une source radioactive qui serait placée à l'intérieur du domaine, ... Il est possible d'introduire de telles sources d'énergie locales en ajoutant un terme à l'équation ; cf. l'article conduction thermique.