Établissement de l'équation de conduction de la chaleur
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Appliquons le premier principe de la thermodynamique à un volume τ de conducteur contenu à l'intérieur d'une surface Σ entre t et t + dt :
dU(t + dt) − dU(t) = δW + δQ + P
on considère ici le système isochore par conséquent δW = 0.
de plus, 
où f(V) est une fonction du volume.
alors 
On a aussi, par définition de 
:
avec le théorème de Green-Ostrogradsky on obtient :
donc :
or ceci est valable pour tout volume τ, donc :
En utilisant la loi de Fourier :
et le fait que :
Finalement :
ce qui est l'équation de la chaleur.
Ou bien en posant 
(coefficient de diffusion)
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