Automorphisme intérieur

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Dans un groupe donné G, un automorphisme intérieur est un automorphisme du groupe G s'écrivant :

ι g (x) = g . x . g - 1

Pour un groupe commutatif, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forment un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, isomorphe au quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Automorphisme intérieur
- 1.2 Sous-groupe normal
2 Groupe des automorphismes intérieurs
- 2.1 Groupe d'automorphisme d'un sous-groupe normal

[modifier] Définition

[modifier] Automorphisme intérieur

Pour chaque élément g de G, on considère l'application $\iota_g:G\mapsto G$ définie comme ci-dessus. C'est un morphisme de groupe ; pour tout x dans G, on a :

ι g (x y) = g x y g - 1 = (g x g - 1).(g y g - 1) = ι g (x).ι g (y)

Un calcul tout aussi direct donne :

$\iota_{gh}=\iota_g\circ\iota_h$

En particulier, $ι g$ est un automorphisme du groupe G, dont l'inverse est $\iota_{g^{-1}}$ , appelé automorphisme intérieur par g.

Si g est un élément central de G (un élément du centre Z(G) de G), le produit intérieur par g est l'identité. Plus généralement, l'ensemble des points fixes de $ι g$ est exactement le centralisateur de g.

Remarque : Si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

[modifier] Sous-groupe normal

Voir l’article Sous-groupe normal.

Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs.

[modifier] Groupe des automorphismes intérieurs

L'application $\iota:g\mapsto\iota_g$ est un morphisme de groupes de G dans le groupe $A u t (G)$ des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de $A u t (G)$ , noté $I n t (G)$ . Par le lemme de factorisation, le morphisme surjectif $\iota:G\rightarrow Int(G)$ induit un isomorphisme :

$G/Z(G)\rightarrow Int(G)$ .

Si $φ$ est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, un calcul donne:

$\forall x\in G,\, \phi\iota_g\phi^{-1}(x)=\phi\left[g.\phi^{-1}(x).g^{-1}\right]=\phi(g).x.\phi(g)^{-1}$ , d'où :

φι g φ - 1 = ι φ(g)

Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De fait, $I n t (G)$ est un sous-groupe normal de $A u t (G)$ . Pour résumer, on dispose donc de la suite exacte suivante :

$1\rightarrow Z(G)\rightarrow G\rightarrow Int(G)\rightarrow Aut(G)\rightarrow Aut(G)/Int(G)\rightarrow 1$

[modifier] Groupe d'automorphisme d'un sous-groupe normal

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif $Int (G)\rightarrow Aut (H)$ . La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.