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Barycentre (mathématiques élémentaires) - Wikipédia

Barycentre (mathématiques élémentaires)

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image:icone_math_élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Analyse
Arithmétique
Géométrie
Logique
Probabilité
Statistique

En géométrie élémentaire, le barycentre de deux, trois ou quatre points pondérés est le point d'équilibre de ce système de points.

Le terme de barycentre vient du grec et signifie centre des poids ou centre d'équilibre. Le mathématicien qui s'est beaucoup intéressé au calcul de barycentre est Archimède (IIIe av. J.-C.). Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments m_1\times OA et m_2 \times OB soient égaux. Si par exemple la masse m1 est 4 fois plus importante que la masse m2, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle
m_1\overrightarrow{OA}+  m_2\overrightarrow{OB}=\vec 0

Ce principe des moments est d'ailleurs utilisé dans la balance dite romaine

Mais Archimède ne s'est pas seulement intéressé au barycentre de deux points. Il a aussi cherché des centres de gravité de plaques géométriques ou de courbes en cherchant le barycentre d'une infinités de points.

En géométrie élémentaire, le calcul du barycentre permet de trouver des centres de gravité de plaques homogènes, de déterminer quel est le poids maximal que peut transporter une grue lestée au bout de sa flèche sans que tout l'ensemble ne bascule. C'est aussi un outil qui se révèle puissant pur la simplification d'expressions vectorielles et des problèmes d'alignement et de concours.

Sommaire

[masquer]

[modifier] Barycentre de deux points dans le plan ou dans l'espace

On démontre, grâce à la relation de Chasles, que, pour tous réels a et b tels que a + b soit non nul, il existe un unique point G tel que

a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0.

Ce point G est appelé le barycentre du système pondéré {(A,a);(B,b)}. On peut remarquer que, d'emblée, cette définition se place dans un cadre plus général que celui étudié par Archimède, puisqu'il accepte des pondérations nulles, voire négatives. Cette définition permet de prouver rapidement que les points A, B et G sont toujours alignés, que le point G est sur le segment [AB] si et seulement si les pondérations sont de même signe et qu'il est toujours plus proche du point dont la pondération est la plus forte en valeur absolue. Réciproquement, on démontre que, si A et B sont distincts, tout point M de la droite (AB) peut s'écrire comme barycentre des points A et B. Les pondérations obtenues sont appelées les coordonnées barycentriques du point M.

On remarque aussi que le point G ne change pas si l'on multiplie les pondérations par un même réel non nul. Cette propriété s'appelle l'homogénéité.

Le barycentre permet de simplifier l'expression vectorielle a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB}, pour tout point M:

a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}.

Démonstration de a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG}.

d'après la relation de Chasles a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = a(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}) + b(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}) = a\overrightarrow{MG} + b\overrightarrow{MG} + a\overrightarrow{GA}+ b\overrightarrow{GB}.

On retrouve la première formule :a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0.

Soit a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} =( a+b)\overrightarrow{MG}+ \vec 0 =( a+b)\overrightarrow{MG}.

Cette propriété s'appelle la propriété de réduction. Elle permet de positionner le point G par rapport à tout point M. Si M est l'origine d'un repère du plan ou de l'espace, elle permet de définir les coordonnées du point G

x_G = \frac{ax_A+bx_B}{a+b} \quad y_G = \frac{ay_A+by_B}{a+b}\quad z_G = \frac{az_A+bz_B}{a+b}

[modifier] Barycentre de trois points dans le plan ou dans l'espace

Calculateur analogique du barycentre de 3 points
Calculateur analogique du barycentre de 3 points

La définition peut se généraliser à trois points : pour tous réels a, b et c tels que a + b + c soit non nul, il existe un unique point G tel que

a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC}= \vec 0

appelé barycentre du système pondéré {(A,a);(B,b);(C,c)}. Les points G, A, B et C sont toujours coplanaires et on démontre que , si A, B, C définissent un plan, tous les points M de ce plan peuvent s'écrire comme barycentre de A, B et C. les pondérations s'appellent alors coordonnées barycentriques de M dans le repère A, B et C

Comme pour le barycentre de deux points, le barycentre de trois points permet de réduire l'expression vectorielle a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC}, pour tout point M :

a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG}

Ce qui permet, en remplaçant M par l'origine du repère, de donner les coordonnées du point G

x_G = \frac{ax_A+bx_B + cx_c}{a+b+c} \quad        y_G = \frac{ay_A+by_B+cy_c}{a+b+c} \quad        z_G = \frac{az_A+bz_B+cz_c}{a+b+c}

Ce barycentre possède en outre une propriété dite d'associativité ou de barycentre partiel : si a + b est non nul et si G1 est le barycentre du système {(A,a);(B,b)}, alors G est le barycentre du système{(G1,a + b);(C,c)}. Cela signifie que la construction du barycentre de trois points peut se ramener à la construction de barycentres de deux points.

Cette propriété simplifie grandement les problèmes d'alignement et de concours.

[modifier] Barycentre de n points

On peut généraliser la définition à n points dans un espace affine E quelconque. On définit alors une fonction f de E dans \vec E, appelée fonction vectorielle de Leibniz :

\overrightarrow{f(M)} = \sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow{MA_i}

On démontre que si \sum_{i = 1}^n a_i est non nul, la fonction s'annule pour un unique point G appelé barycentre du système {(Ai,ai)}i = 1...n. Ce point G est toujours dans le sous-espace affine engendré par les (Ai). Réciproquement, si les Ai constituent une famille libre de n points d'un sous-espace affine F de dimension n - 1, tout point M de F peut s'écrire comme barycentre des points (Ai). Les pondérations s'appellent les coordonnées barycentriques de G dans le repère (Ai).

[modifier] Réduction de fonctions vectorielles ou du second degré

À partir du barycentre il est possible de réduire des expressions vectorielles. Prenons l'exemple de 3 points seulement A B C de poids a b c et leur barycentre G. La formule du premier degré est celle du barycentre :

a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG} qui permet de nombreux calculs du premier degré sur les vecteurs.

A partir du barycentre il est possible de définir une formule du second degré, au sens du produit scalaire des vecteurs : Que peut-on dire de la formule du second degré suivante, dont le résultat est un nombre r.

r= a\overrightarrow{MA}^2 + b\overrightarrow{MB}^2 + c\overrightarrow{MC}^2 ?

Remplaçons chaque vecteur MA etc par (MG+GA) et appliquons la formule du carré d'une somme:

r= a\overrightarrow{MA}^2 + b\overrightarrow{MB}^2 + c\overrightarrow{MC}^2 = a( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GA} )^2 + b(\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GB})^2 + c(\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GC})^2
r=  a( \overrightarrow{MG}^2+ \overrightarrow{GA}^2 + 2*\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA})+ b(...)+c(...)
r=  (a+b+c)\overrightarrow{MG}^2+a\overrightarrow{GA}^2 + b\overrightarrow{GB}^2 + c\overrightarrow{GC}^2 + 2\overrightarrow{MG}.(a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC})

Les doubles produits s'annulent, d'où le résultat

a\overrightarrow{MA}^2 + b\overrightarrow{MB}^2 + c\overrightarrow{MC}^2 = (a+b+c){MG}^2+(a{GA}^2 + b{GB}^2 + c{GC}^2)

au second degré où seul le terme MG2 est variable.

Rappelons la formule de départ du premier degré

a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG}

[modifier] Un exemple de concours

Dans le dessin ci-contre, les graduations sur chaque côté sont régulières. Pourquoi les droites (AM) (BN) et (CP) sont-elles concourantes ?

La lecture du dessin permet de dire que

  • P est barycentre du système {(A ; 2), (B ; 1)}
  • N est barycentre du système {(A ; 3), (C ; 1)}
  • M est barycentre du système {(B ; 3), (C ; 2)}

La proprité d'homogénéité du barycentre permet de dire que

  • P est barycentre du système {(A ; 6), (B ; 3)}
  • N est barycentre du système {(A ; 6), (C ; 2)}
  • M est barycentre du système {(B ; 3), (C ; 2)}

Il suffit alors de créer un point G barycentre du système {(A ; 6) , (B ; 3) ; (C ; 2)} et d'utiliser trois fois la propriété d'associativité

  • G est barycentre du système {(P ; 9), (C ; 2)} donc G est sur la droite (PC)
  • G est barycentre du système {(N ; 8), (B ; 3)} donc G est sur la droite (NB)
  • G est barycentre du système {(M ; 5), (A ; 6)} donc G est sur la droite (AM)

G est donc le point de concours des trois droites.

[modifier] Voir aussi


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