Caractère de Dirichlet

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En théorie des nombres, un caractère de Dirichlet est une fonction $\chi\,$ de l'ensemble des nombres entiers dans l'ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :

il existe un entier positif k tel que $\chi(n) = \chi(n + k)\,$ pour tous les n. Ceci veut dire que le caractère est périodique de période k.
$\chi(n) = 0\,$ pour chaque n avec pgcd(n,k) > 1
$\chi(mn) = \chi(m)\chi(n)\,$ pour tous les entiers positifs m et n
$\chi(1) = 1\,$

[modifier] Propriétés

Les deux derniers axiomes montrent qu'un caractère de Dirichlet $\chi\,$ est une fonction complètement multiplicative. On peut aussi montrer que $\chi(n)\,$ est une racine de l'unité $\varphi(n)$ -ième lorsque n et k sont premiers entre eux, $\varphi$ désignant l'indicatrice d'Euler.

Un caractère de Dirichlet est un caractère d'un groupe $\mathbb Z/N\mathbb Z$ . $N$ est appelé son conducteur.

Si $\chi\,$ est un caractère de Dirichlet modulo $N$ , et $M$ est un autre entier, on peut définir un autre caractère de Dirichlet, de conducteur $M N$ en composant $\chi\,$ avec l'application canonique : $\mathbb Z/MN\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z/N\mathbb Z$ . Un caractère de Dirichlet est dit primitif lorsqu'on ne peut pas l'obtenir ainsi via un caractère de conducteur plus petit.

[modifier] Exemples

Un exemple de caractère de Dirichlet est la fonction $\chi(n) = (-1)^{\frac{(n-1)}{2}}$ pour les nombres impairs n et $\chi(n) = 0\,$ pour les nombres pairs n. Ce caractère est de période 4.

Si p est un nombre premier, alors la fonction $\chi(n) = \left(\frac{n}{p}\right)$ (le symbole de Legendre) est un caractère de Dirichlet de période p.

[modifier] Séries L

Si χ est un caractère de Dirichlet, on peut définir sa série L de Dirichlet par

$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}$

où s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction Zeta de Riemann et apparaît comme prééminente dans l' hypothèse de Riemann généralisée.

Voir l’article série L de Dirichlet.

[modifier] Histoire

Les caractères de Dirichlet et leurs séries L furent introduit par Dirichlet, en 1831, en vue de prouver le théorème de Dirichlet à propos de l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux fonctions holomorphes fut accomplie par Bernhard Riemann.