Coefficient de restitution

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Le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors d'une collision. Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

[modifier] Valeurs possibles

$e\in [0,1]$
Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible, et figurerait une collision qui collerait les deux corps entre eux au lieu de les faire rebondir.

[modifier] Collision dans une dimension

On a : $\displaystyle{v=-eu}$
avec $v$ = vitesse finale du système, $u$ = vitesse initiale du système, $e$ = coefficient de restitution.

[modifier] Collision élastique

Si la collision est élastique, $\displaystyle{e=1}$ , et donc $\displaystyle{v=-u}$
L'énergie cinétique est alors conservée.

Exemple: Un corps A de masse $M A$ avançant rectilignement à une vitesse $u$ , percute un corps B de masse $M B$ au repos. La collision est élastique, donc $e = 1$ . Soit $v A$ , et $v B$ les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement:

$\displaystyle{uM_{A}=M_{A}v_{A}+M_{B}v_{B}}$

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives):

$v_{A}-v_{B}=-1\times u$

Donc $\displaystyle{v_{A}+v_{B}=-v_{A}+v_{B}}$ , ainsi $\displaystyle{v_{A}=0}$ et $\displaystyle{v_{B}=u}$

[modifier] Application: Rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum $\displaystyle{h_{n}}$ après $n$ rebonds : : $\displaystyle{h_{n}=e^{2n}h_{0}}$ Avec $e$ coefficient de restitution de la collision, $h 0$ hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Démonstration

Temps $\displaystyle{t_{n}}$ après le $n$ rebond et avant le $n + 1$ rebond: $\displaystyle{t_{n}=e^{n}\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}}}$ Avec $g$ accélération de la pesanteur.

Démonstration

Temps total de rebondissement : $\displaystyle{T=t_{0}+\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}}$
A l'aide d'une suite géométrique, on trouve finalement: $\displaystyle{T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} }$ avec $t 0$ temps avant le premier rebond.