Couplage de deux oscillateurs mécaniques

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Soient deux pendules simples identiques oscillant dans le même plan, avec la même pulsation telle que :

$\omega_0^2 = g/l$ (formule dite des petites oscillations)

[modifier] Couplage des deux pendules

Placer un ressort de longueur au repos égal à la distance M1M2 = a, entre les pendules immobiles. Ce faisant, on couple les 2 oscillateurs et les deux degrés de liberté x₁ et x₂ du mouvement de chaque pendule seront couplés par le ressort de raideur k.

[modifier] Symétrie

La symétrie du problème fait apparaître deux régimes :

l'un symétrique: x₁ = x₂ : le ressort ne joue aucun rôle et la pulsation reste inchangée.
l'autre antisymétrique x₁ = - x₂ : le point milieu du ressort reste immobile. On se retrouve avec deux oscillateurs non couplés avec rappel par un ressort de raideur 2k. La pulsation est telle que:
$\omega_u^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m}$

Il suffirait donc d'avoir changé les coordonnées du problème en X₁ =x ₁+x₂ et X₂ = x₁-x₂ pour entraîner le découplage : c'est une situation générale pour des oscillateurs linéaires. En choisissant les coordonnées dites "normales", le couplage s'évanouit. C'est donc une notion relative au point de vue choisi.

[modifier] Double résonance

Appelons arbitrairement (on vient de le voir) K = kl/mg , la constante de couplage. Si l'on force le mouvement de la première masse par une force sinusoïdale F cos( $ω$ t) alors le mouvement x₁(t) sera un mouvement sinusoïdal d'amplitude complexe x₁(p) tel que :

$x_1(p) = \frac{F}{m}\frac{p^2+\omega_0^2(1+K)}{(p^2+\omega_0^2)(p^2+\omega_u^2)}$

qui est un réel conformément au théorème de Foster-Tuttle, avec résonance aux deux pulsations propres et une pulsation "bouchon" (x₁(t)=0 ), juste au moment où la masse m2 oscille sur cette pulsation. Celle-ci est telle que $\omega_{tampon}^2 = \omega_0^2(1+K)$ , x₂ ayant une amplitude finie.