Ernst Schröder

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Ernst Schröder (25 novembre, 1841 à Mannheim – 16 juin, 1902 Karlsruhe) était un mathématicien allemand. Son travail porte sur la logique et l'algèbre de Boole . C'est un personnage majeur de l'histoire de la logique mathématique, car il a récapitulé et étendu l'œuvre de George Boole, Augustus De Morgan, Hugh MacColl, et particulièrement Charles Peirce. Il est particulièrement connu pour son œuvre monumentale Vorlesungen über die Algebra der Logik, en trois volumes, qui a aidé à développer la logique mathématique, en une discipline autonome au XX^e siècle, en organisant les différents systèmes logiques de l'époque.

Sommaire 1 Biographie 2 Œuvres 3 Bibliographie 4 Notes et références

[modifier] Biographie

Schröder apprit les mathématiques à Heidelberg, Königsberg, et Zürich, auprès de Hesse, Kirchhoff, et Franz Neumann. Il enseigna quelques années dans une école, puis au Technische Hochschule Darmstadt en 1874. Deux ans plus tard, il obtint une chaire de mathématiques au Polytechnische Schule de Karlsruhe, où il passa le reste de sa vie. Il ne fut jamais marié.

[modifier] Œuvres

Les premiers travaux de Schröder portant sur l'algèbre et la logique ont été menés sans que leur auteur connaisse les logiciens anglais George Boole et Auguste De Morgan. Ses sources étaient les travaux d'Ohm, Hankel, Hermann Grassmann, et Robert Grassmann, issus de l'école traditionnelle allemande en algèbre combinatoire et analyse algébrique (Peckhaus 1997: 233-296). En 1873, Schröder découvrit les travaux de Bool et de De Morgan sur la logique. Il a ajouté quelques idées importantes dues à Charles Peirce notamment la notion de subsomption et de quantification.

Schröder a contribué en algèbre, en théorie des ensembles, sur les treillis (ensemble ordonné), les ensembles ordonnés et les Nombres ordinaux. Avec Georg Cantor, il découvrit le théorème de Cantor–Bernstein–Schröder, bien que sa démonstration de 1898 fût imparfaite. Felix Bernstein (1878-1956) la corrigea dans sa thèse.

L'ouvrage de Schröder paru en 1877 était une exposition concise des idées de Boole sur l'algèbre et la logique, qui a aidé à introduire l'œuvre de Boole en Europe continentale. L'influence des Grassmann, en particulier du peu connu Formenlehre de Robert, est claire. John Venn et Christine Ladd-Franklin citent ce court livre de Schröder, et Charles Peirce l'utilisait comme référence pour son enseignement à l'Université Johns-Hopkins.

Chef d’œuvre de Schröder, sa Vorlesungen über die Algebra der Logik, fut publiée en trois volumes entre 1890 et 1905, à compte d’auteur. Le volume 3 compte deux parties, la deuxième publiée à titre posthume, et éditée par Eugen Müller. La Vorlesungen constituait une somme complète sur la logique symbolique à la fin du XIX^e siècle, qui eut une influence importante sur son développement au XX^e siècle.^[1]

Schröder qualifiait ainsi son objectif :

« [...] faire de la logique une discipline calculatoire, particulièrement donner la possibilité d'une manipulation exacte des concepts qui y ont trait, et, par la suite, par l'émancipation des réclamations habituelles de la langue naturelle, bannir le cliché de n'importe quelle terre fertile aussi bien dans le domaine de la philosophie. Ceci doit préparer la voie à une langue universelle scientifique qui ressemblerait plus à un langage des signes qu'à un langage des sons. » 

Schröder a influé les premiers développements du calcul des prédicats par la popularisation des œuvres de Peirce sur la quantification. Cette influence était au moins aussi grande que celles de Frege ou Peano (voir Clarence Irving Lewis (1918)). Les notions de relations qui sont présentes dans les Principia Mathematica doivent beaucoup à Vorselungen, d'ailleurs cité dans la préface des précédents.

Frege (1960), néanmoins, a rejeté l'œuvre de Schröder, et l'admiration pour le rôle important de Frege a dominé le débat historique. Toutefois, comparant Frege avec Schröder et Charles Peirce, Hilary Putnam, en 1982, écrit :

« Quand j'ai commencé à étudier l'histoire de la logique [...], la première chose que j'ai faite a été de regarder la Vorlesungen über die Algebra der Logik de Schröder , [dont] le troisième volume porte sur la logique des relations (Algebra und Logik der Relative, 1895). Les trois volumes devinrent immédiatement le texte avancé de logique le plus connu, et comprend ce que tout mathématicien intéressé par l'étude de la logique devait savoir, ou du moins être informé de, dans les années 1890. » 

« Tandis que, à ma connaissance, personne, à l'exception de Frege, n'a publié un article dans la notation de Frege, de nombreux logiciens célèbres adoptèrent la notation de Peirce-Schröder, et de célèbres résultats et systèmes furent publiés dans celle-ci. Löwenheim a énoncé et prouvé le théorème de Löwenheim (ensuite reprouvé et renforcé par Thoralf Skolem, dont le nom qui fut associé à celui du théorème au côté de celui de Löwenheim) dans la notation de Peirce. En réalité, il n'y a pas une référence dans l'article de Löwenheim à quelque logique autre que celle de Peirce. Pour citer un autre exemple, Zermelo a démontré ses axiomes pour la théorie des ensembles dans la notation de Peirce-Schröder, et pas, comme on aurait pu s'y attendre, dans celle de Russell-Whitehead. » 

« Ces simples faits (que quiconque peut facilement vérifier) peuvent être résumés comme suit : Frege a certainement découvert le quantificateur d'abord (quatre années avant O. H. Mitchell, d'après la date de la publication, qui sont tout ce dont on dispose à ma connaissance). Mais Leif Ericson a découvert probablement l'Amérique "d'abord" (excusez-moi de ne pas compter les indigènes d'Amerique, qui bien sûr l'ont découverte vraiment "d'abord"). Si le découvreur effectif, du point de vue européen, est Christophe Colomb, c'est parce qu'il l'a découverte et qu'elle l'est restée (par les Européens, j'entends), de sorte qu'elle a été connue (des Européens). Frege a effectivement "découvert" le quantificateur dans le sens qu'il est fondé à réclamer la priorité ; mais Peirce et ses étudiants l'ont découvert dans le sens effectif. Le fait est que jusqu'à ce que Russell ait reconnu ce qu'il avait fait, Frege était relativement obscur, et c'était Peirce qui semble avoir été connu de la communauté des logiciens du monde entiers. Combien parmi ceux qui pensent que "Frege a inventé logique", sont au fait de ces faits ? » 

[modifier] Bibliographie

• Primary
  • Schröder, E., 1877. Der Operationskreis des Logikkalküls. Leipzig: B.G. Teubner.
  • Schröder, E., 1890-1905. Vorlesungen über die Algebra der Logik, 3 vols. Leipzig: B.G. Teubner. Reprints: 1966, Chelsea; 2000, Thoemmes Press.
  • Schröder, E., 1898. "Über zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor'sche Sätze ", Abh. Kaiserl. Leop.-Car. Akad. Naturf 71: 301-362.
• Both Primary and Secondary
  • Brady, Geraldine, 2000. From Pierce to Skolem. North Holland. Includes an English translation of parts of the Vorlesungen.
• Secondary
  • Anellis, I. H., 1990-91, "Schröder Materials at the Russell Archives," Modern Logic 1: 237-247.
  • Dipert, R. R., 1990/91. "The life and work of Ernst Schröder," Modern Logic 1: 117-139.
  • Frege, G., 1960, "A critical elucidation of some points in E. Schröder's Vorlesungen über die Algebra der Logik", translated by Geach, in Geach & Black, Translations from the philosophical writings of Gottlob Frege. Blackwell: 86-106. Original: 1895, Archiv fur systematische Philosophie 1: 433-456.
  • Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton University Press.
  • Clarence Irving Lewis, 1960 (1918). A Survey of Symbolic Logic. Dover.
  • Peckhaus, V., 1997. Logik, Mathesis universalis und allgemeine Wissenschaft. Leibniz und die Wiederentdeckung der formalen Logik im 19. Jahrhundert. Akademie-Verlag.
  • Peckhaus, V., 1999, "19th Century Logic between Philosophy and Mathematics," Bulletin of Symbolic Logic 5: 433-450. Reprinted in Glen van Brummelen and Michael Kinyon, eds., 2005. Mathematics and the Historian's Craft. The Kenneth O. May Lectures. Springer: 203-220. Online here or here.
  • Peckhaus, V., 2004. "Schröder's Logic" in Gabbay, Dov M., and John Woods, eds., Handbook of the History of Logic. Vol. 3: The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege. North Holland: 557-609.
  • Hilary Putnam, 1982, "Peirce the Logician," Historia Mathematica 9: 290-301. Reprinted in his 1990 Realism with a Human Face. Harvard University Press: 252-260. Online fragment.
  • Thiel, C., 1981. "A portrait, or, how to tell Frege from Schröder," History and Philosophy of Logic 2: 21-23.

[modifier] Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article en anglais : « Ernst Schröder. »

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