Espace de Sobolev

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Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels. Ils doivent leur nom au mathématicien russe Sergueï Sobolev.

Sommaire

1 Espaces de Sobolev standards
2 Espaces de Sobolev sur les variétés
- 2.1 Théorèmes de densité
- 2.2 Théorème de plongement de Sobolev
3 Définition - Ordre 1
- 3.1 Propriétés
4 Cas général
- 4.1 Propriétés

[modifier] Espaces de Sobolev standards

Si $U$ est un ouvert de $\R^n$ , on note habituellement $W k, p (U)$ l'espace des fonctions $f:U\rightarrow \R$ qui sont mesurables, $k$ fois dérivables au sens des distributions, et telles que les dérivées successives soient dans $L p (U)$ .

[modifier] Espaces de Sobolev sur les variétés

Considérons une variété riemannienne $(M, g)$ et notons $\nabla$ la connexion de Levi-Cevita.

Notons $C k, p (M)$ l'espace des fonctions $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C k$ telles que $|\nabla ^lf|\in L^p(M)$ pour $0\leq l\leq k$ . L'espace de Sobolev $W k, p (M)$ est la complétion de $C k, p (M)$ pour la norme :

$\|f\|_{k,p}=\sum_{l=0}^k\|\nabla ^lf\|_p$

Cette définition est cohérente avec celle donnée dans le paragraphe précédent. En effet, un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^n$ est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de $\mathbb{R}^n$ .

[modifier] Théorèmes de densité

Pour une variété riemannienne complète, les fonctions $C^{\infty}$ à support compact sont denses dans $W 1, p (M)$ pour tout $1\leq p<\infty$ .
Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité $δ > 0$ et de courbure bornée, les fonctions $C^{\infty}$ à support compact sont denses dans $W 1, p (M)$ pour tout $1\leq p<\infty$ .

[modifier] Théorème de plongement de Sobolev

Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité $δ > 0$ et de courbure bornée (typiquement : variété riemannienne compacte) :

Si $k>l\geq 0$ sont des entiers, $1\leq p <q$ des réels, avec $\frac{1}{p}=\frac{1}{q}-\frac{k-l}{n}$ , alors l'espace $W k, q (M)$ s'injecte continuement dans $W l, p (M)$ .

Si $k, r$ sont des entiers vérifiant l'inégalité $\frac{k-r}{n}>\frac{1}{q}$ , l'espace $W k, q$ s'injecte continuement dans $B C r (M)$ .

[modifier] Définition - Ordre 1

Soit l'ensemble défini par $\mathbf{H^1(\Omega)}=\{v\in \mathbf{L^2(\Omega)}, \forall i =1...N, \frac{\partial v}{\partial x_i}\in \mathbf{L^2(\Omega)} \}$

On l'appelle espace de Sobolev d'ordre 1.

[modifier] Propriétés

$\mathbf{H^1(\Omega)}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbf{L^2(\Omega)}$ .

Pour $u$ et $v$ dans $\mathbf{H^1(\Omega)}$ on note $((u,v))_1 = \int_{(\Omega)} (uv + \sum_{i=1}^N \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_i} \,) dm$
L'espace $\mathbf{H^1(\Omega)}$ muni du produit scalaire $\mathbf{((u,v))_1}$ est un espace de Hilbert.
L'espace $\mathbf{H^1(\Omega)}$ est séparable.

[modifier] Cas général

On appelle espace de Sobolev d'ordre m le sous-espace vectoriel de $\mathbf{L^2(\Omega)}$ défini par:

$\mathbf{H^m(\Omega)}=\{v\in \mathbf{L^2(\Omega)}, \forall q\le m, \frac{\partial ^q v}{\partial x_1 ... \partial x_q}\in \mathbf{L^2(\Omega)} \}$

[modifier] Propriétés

La forme définie sur $\mathbf{H^m(\Omega) \times H^m(\Omega)}$ par $((u,v))_m = \int_{(\Omega)} \sum_{q\le m} \sum_{r\le m} \frac{\partial ^q v}{\partial x_1 ... \partial x_q} \frac{\partial ^r v}{\partial x_1 ... \partial x_r} \, dm$

est un produit scalaire. Muni de ce produit scalaire, l'espace $\mathbf{H^m(\Omega)}$ est un espace de Hilbert.

Théorème de régularité L'espace $\mathbf{H^m(\Omega)}$ s'injecte dans $\mathbf{C^k(\Omega)}$ où k est un entier quelconque, vérifiant la condition $0 \le k < m - \frac{N}{2}$ où N est la dimension de l'espace.