Fonction entière
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En analyse complexe, une fonction est dite entière si elle est définie sur tout le plan complexe et est holomorphe en tout point.
[modifier] Exemples
- Des exemples typiques de fonctions entières sont les fonctions polynomiales, la fonction exponentielle, et les sommes, les produits et les composées de celles-ci.
- Les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques sont aussi des fonctions entières, mais elles sont de simples variations de la fonction exponentielle par suite des formules d'Euler.
- Toute série entière dont le rayon de convergence est infini définit une fonction entière. Réciproquement, toute fonction entière peut être représentée par une série entière dont le rayon de convergence est infini.
- Ni la fonction logarithme naturel ni la fonction racine carrée ne sont des fonctions entières.
[modifier] Résultats principaux
- Si l'on pose
, et si M(R) désigne le maximum de la fonction sur le disque de centre z et de rayon R, on a les inestimables inégalités de Cauchy
- La théorie de Cauchy montre que l'intégrale le long d'un chemin fermé d'une fonction entière est nulle.
- On a la formule de Cauchy
et, en développant la fraction 1/(s-z) en série entière on en déduit que
où dans les deux cas γ est un chemin fermé sans boucle contenant z.
- Un résultat important sur les fonctions entières est le théorème de Liouville : si une fonction entière est bornée, alors elle est constante.
- Cela peut être utilisé pour fournir une démonstration élégante, par l'absurde, du théorème de d'Alembert-Gauss.
- Le petit théorème de Picard renforce considérablement le théorème de Liouville.
[modifier] Remarque
- Une fonction qui est définie et holomorphe sur tout le plan complexe sauf sur un ensemble de pôles isolés est dite méromorphe.
