Force centrifuge

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La force centrifuge est un cas particulier de force fictive qui apparaît en physique dans le contexte de l'étude du mouvement des objets dans des référentiels non inertiels.

Sommaire

1 Description
- 1.1 Forces fictives
- 1.2 Cas particulier de la force centrifuge
2 Démonstration de l'expression de la force centrifuge
3 exemples
4 Notes
5 Idées fausses
6 Voir aussi

[modifier] Description

[modifier] Forces fictives

En mécanique newtonienne, l'équation du mouvement $\vec{F} = m.\vec{a}$ ne s'applique que dans un référentiel inertiel. Il est parfois utile ou plus simple de traiter un problème dans un référentiel qui est non-inertiel.

Quand on fait ce choix, on peut faire abstraction du caractère non inertiel du référentiel à condition de rajouter des forces supplémentaires dans le problème. On utilise alors cette équation mais en incluant dans le terme de force des forces supplémentaires qu'on appelle en conséquence des forces fictives.

Les effets de ces forces fictives sont parfaitement perceptibles depuis le référentiel non inertiel dans le sens où elles sont rajoutées justement pour que la perception qu'un observateur a du mouvement des objets depuis ce référentiel soit cohérente avec la Loi de Newton. Néanmoins, il faut les distinguer des autres forces fondamentales qui sont elles indépendantes du référentiel.

[modifier] Cas particulier de la force centrifuge

La force centrifuge est un cas particulier de force d'inertie d'entraînement, qui apparaît dans des référentiels en rotation uniforme par rapport à un référentiel galiléen^[1]. On soulignera que l'objet auquel est attaché le référentiel subit une accélération « centripète » (voir Composition des mouvements).

Si on étudie le mouvement d'un objet dans un référentiel tournant, on peut dès lors utiliser l'équation F = m.a à condition de rajouter, notamment, une force centrifuge comme agissant sur l'objet.

Si, de plus, depuis le référentiel tournant, l'objet est perçu comme à l'équilibre (a = 0), alors la force centrifuge est la seule force fictive qu'il est nécessaire de rajouter. C'est par exemple le cas pour des référentiels attachés à des objets en rotation étant donné que si le référentiel est attaché à l'objet, l'objet y est perçu en équilibre, puisqu'il n'y est pas perçu en mouvement. Dans le cas contraire, il convient de rajouter une autre force fictive, la force de Coriolis.

L'expression de la force centrifuge à rajouter est : $F = m . v 2 / R$ où

m est la masse de l'objet étudié ;

v est la vitesse du référentiel tournant ;

R est le rayon de courbure de la trajectoire du référentiel ;

toutes mesurées depuis un seul et même référentiel non-inertiel.

[modifier] Démonstration de l'expression de la force centrifuge

[modifier] Paramètres

Considérons un point matériel P de masse M tournant autour d’un axe supposé fixe dans un référentiel galiléen G. Son mouvement circulaire se fait à vitesse constante ω.

Comme il s’agit d’un point il ne sera pas nécessaire de chercher l’influence des moments de force sur l’éventuelle rotation propre de ce point.

L’étude d’un tel mouvement est mathématiquement simplifiée, quand on exprime l’ensemble des vecteurs (positions, vitesses, accélérations et forces) dans un repère tournant avec le point (ce qui ne veut pas dire qu’on se situe dans ce référentiel). Le repère ainsi choisi est tel que :

$\vec{OP}= R.\vec{x}$
(O, $\vec{z}$ ) est l’axe de rotation.

Dans ces conditions rappelons que : $\frac{d\vec{x}}{dt}= \omega\vec{y}$ ; $\frac{d\vec{y}}{dt}= - \omega.\vec{x}$ et $\frac{d\vec{z}}{dt}= \vec{0}$

Puisque la loi de mouvement nous est donnée (position de P dans le référentiel G) il est possible de calculer, par dérivées successives, la vitesse puis l’accélération du point pour chaque position :

On obtient alors : $\vec{V}(P/G)=R\omega\vec{y}$ et $\vec{A}(P/G)=-R\omega^2\vec{x}$

Ce qui peut également s’écrire: $\vec{A}(P/G)=-{\left|\vec{V}(P/G)\right|^2\over R}\vec{x}$

[modifier] Principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique (« loi de Newton ») nous donne, pour tout corps en mouvement dans un référentiel galiléen, une relation entre l’accélération et les forces extérieures subies : $\vec{F}_{ext\to P}= M\vec{A}(P/G)$

Soit après projection sur l’axe $\displaystyle (O,\vec{x})$ :
(1) $\displaystyle Fx_{ext\to P} = - M R \omega^2$

L’étude de chaque situation permet alors de quantifier le terme $\displaystyle Fx_{ext\to P}$ pour qu’un tel mouvement soit possible. On notera que ce terme est négatif sur $\vec{x}$ ; il s’agit de la force centripète sans laquelle le mouvement ne serait pas: Trop forte le virage se referme, trop faible il s’ouvre, nulle la masse par en ligne droite.

Remarque : $\displaystyle Fx_{ext\to P}$ regroupe l'ensemble des efforts extérieurs sans en donner le détail. En outre, cette étude est indépendante de la direction de la gravitation. Si le poids intervient dans l'expression $\displaystyle Fx_{ext\to P}$ (cas d'un axe horizontal par exemple) cela signifie qu'il y a au moins une autre force qui entre en jeu pour assurer l'équilibre (par exemple la tension alors variable du fil qui tiendrait P).

[modifier] Force centrifuge

A présent modifions l’équation en plaçant tous les termes à gauche du signe égalité, on obtient :

(1) $F x e x t - > P + M R ω 2 = 0$

Petit rappel : dans un référentiel galiléen, il y a équilibre d’un système (c'est-à-dire absence de mouvement), si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’appliquent à lui est nulle. Les 3 conditions (référentiel, équilibre, somme nulle) sont indissociables.

Revenons à notre équation : le deuxième terme (nul) s’apparente à la condition somme des forces nulle. Traduit-elle un équilibre ? oui, celui de P dans le repère tournant (O,x,y,z). Dans ce cas l’expression $MR\omega^2\vec{x}$ doit être alors considérée comme une force extérieure ; elle en a déjà la dimension. Cette quantité est appelée « force centrifuge » parce que son signe la dirige vers l’extérieur, et qu’elle contribue à l’annulation des forces dans l'équation.

Ainsi on rétablit de manière artificielle le triplet (référentiel, équilibre, équation), qui ne doit en aucun cas être affiché comme une manifestation du principe de la dynamique puisqu’une au moins des 3 conditions n’est pas respectée. C'est pourquoi la force centrifuge est qualifiée de force fictive.

[modifier] exemples

Il existe des cas où l'effet centrifuge peut être recherché comme par exemple lors de l'essorage du linge dans un tambour de machine; Inévitable pour les systèmes en rotation, il peut constituer un désagrément, pour les passagers d'un véhicule abordant un virage sévère: on a recours alors à des artifices pour annuler, ou plutôt compenser cet effet (combinaison anti-G des pilotes d'avion de chasse, ou système pendulaire de certains trains).

Principe d'un régulateur à effet centrifuge

régulateurs à effet centrifuge (sur anciennes machines à vapeur)

Le schéma donné reproduit le principe du régulateur de James Watt. Entraîné, via la courroie, par la machine, le rotor voit ses masselottes s'écarter. Une tringlerie commande alors une vanne. L'action sur la vanne a un effet inverse sur la puissance fournie à la machine: c'est le principe de l'asservissement. Trop vite on ferme la vapeur, trop lent on ouvre, le système finissant par trouver le juste équilibre, et par conséquent un régimé régulé.

Intérêt du train pendulaire

train pendulaire

Les voyages en train sont souvent longs. Il est donc appréciable de pouvoir circuler dans les voitures pour se dégourdir les jambes. Les lignes anciennes sont parfois sinueuses, et les déplacements dans les allées sont alors difficiles à négocier. L'idée du train pendulaire exploite l'effet centrifuge pour incliner les voitures, de telle sorte que la force centrifuge s'ajoute au poids pour donner un poids apparent exactement perpendiculaire au plancher. De ce fait les passagers ne ressentent plus les efforts de cisaillement le long du corps qui tendent à faire perdre l'équilibre.

satellite géostationnaire

dessins - calculs

vélo dans un virage.

dessins - calculs

avion effectuant un virage dans le ciel

dessins - calculs

[modifier] Notes

↑ Un référentiel en rotation est bien non-inertiel étant donné qu'il décrit une trajectoire qui indique qu'il est soumis à une accélération. Sans cette rotation, il décrirait un mouvement rectiligne uniforme

[modifier] Idées fausses

la force centrifuge serait la réaction à la force centripète.
la force centrifuge n'obéirait pas au principe d'action-réaction.
la force centrifuge serait une force comme les autres.

[modifier] Voir aussi

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[modifier] Cas particulier de la force centrifuge

[modifier] Démonstration de l'expression de la force centrifuge

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[modifier] exemples

[modifier] Notes

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