Fraction dyadique

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En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui, lorsqu'il est écrit sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux, c'est-à-dire un nombre rationnel de la forme $\frac{a}{2^b}\,$ où a est un entier relatif et b est un entier naturel. Par exemple, 1/2 ou 3/8 mais pas 1/3. Ce sont précisément les nombres qui ont un développement de « décimales » binaire fini.

Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi--gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec des dénominateurs allant jusqu'à 64, utilisant une notation basée sur l'Œil d'Horus (voir, e.g., Curtis).

L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels; un nombre réel quelconque x peut être arbitrairement approché autant que l'on veut par des rationnels dyadiques de la forme $\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i\,$ . Comparé aux autres sous-ensembles de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble dense dans un certain sens, plutôt « petit », c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations.

Voir l’article lemme d'Urysohn.

La somme, le produit ou la différence de deux fractions dyadiques quelconque est elle-même une autre fraction dyadique :

$\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a+c}{2^d} \quad (d\ge b)$

$\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a-c}{2^d} \quad (d\ge b)$

$\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{a-2^{b-d}c}{2^b} \quad (d< b)$

$\frac{a}{2^b}\times \frac{c}{2^d} = \frac{ a \times c}{2^{b+d}}.$

Par contre, le résultat de la division d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau de l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}\,$ . Algébriquement, ce sous-anneau est la localisation des entiers $\mathbb{Z}\,$ qui respecte l'ensemble des puissances de deux.

Quelles propriétés possède cet anneau ?

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.

[modifier] Solénoïde dyadique

En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite directe des sous-groupes cycliques infinis

$2^{-n}\mathbb{Z}\,$

pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, nommément la limite inverse du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée

$\zeta \rightarrow \zeta^2\,$ .