Inégalité triangulaire
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En mathématiques, l'inégalité triangulaire est un critère de bonne formation d'une distance.
En géométrie plane, elle indique que, dans un triangle ABC, le plus court chemin pour aller de A à C est le segment [AC]. Elle s'exprime donc primitivement par l'inégalité :
- AC ≤ AB + BC
L'inégalité triangulaire se généralise à toute distance d :
- quels que soient x, y et z, d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (i.e. pour aller d'un point à un autre directement, le trajet n'est jamais plus long que si l'on faisait une étape).
Si on prend D un espace vectoriel, dans l'espace vectoriel normé (D,
, (où 
correspond à la norme), cela s'écrit :
X,Y,Z 
D 
≤ 
+
.
La valeur absolue étant une distance dans l'ensemble des réels, on peut aussi en tirer la propriété :
La première égalitée est vérifiée lorsque a et b sont de signes opposés, et la deuxième égalitée est vérifée lorsque a et b sont de meme signe.
[modifier] Démonstration de l'inégalité triangulaire dans l'ensemble des réels
On a :
donc, comme 
et 
sont positifs, on en déduit que 
[modifier] Articles connexes
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