Loi de probabilité à plusieurs variables

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Dans certains problèmes interviennent simultanément plusieurs variables aléatoires. Mis à part les cas particuliers de variables indépendantes (notion définie ci-dessous) et de variables liées fonctionnellement, cela introduit la notion de loi de probabilité à plusieurs variables.

La description des notions correspondantes, certaines d'entre elles généralisant les notions relatives à une seule variable, est simplifiée de deux manières.

Seules les variables continues sont considérées. Il est possible de passer aux variables discrètes en utilisant la fonction de Heaviside et la fonction de Dirac.
Pour éviter la lourdeur des formules, le problème est limité à deux variables.

[modifier] Formules de base

La probabilité pour que la variable aléatoire $X\,$ prenne une valeur numérique inférieure à $x\,$ tandis que $Y\,$ prend une valeur inférieure à $y\,$ définit la fonction de répartition :

$F_{XY}(x,y) = \mathcal{P}(X<x,Y<y)$

Celle-ci est non décroissante en $x\,$ et en $y\,$ , entre la valeur 0 lorsque les deux variables tendent vers $-\infty\,$ et la valeur 1 lorsqu'elles tendent vers $+\infty\,$ .

La densité de probabilité jointe s'obtient par une double dérivation :

$p_{XY}(x,y) = \frac{\partial F_{XY}}{\partial x \partial y}$

Une intégration par rapport à $y\,$ (resp. $x\,$ ) donne la densité de probabilité marginale de $X\,$ (resp. $Y\,$ ) :

$p_X (x) = \int_{-\infty}^\infty p_{XY}(x,y) \mathrm dy$

Le rapport de la densité de probabilité jointe (relative à une valeur $x\,$ ) à la densité marginale de $Y\,$ (concernant toutes les valeurs $x\,$ ) représente la densité de probabilité conditionnelle de $X\,$ sous la condition $Y = y\,$ :

$p_{X|Y}(x,y) = \frac {p_{XY}(x,y)} {p_{Y}(y)}$

[modifier] Espérances mathématiques

L'espérance mathématique d'une fonction $f\,$ de deux variables généralise la formule donnée pour une seule variable :

$E[f(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty\ f(x,y) p_{XY}(x,y) \mathrm dx \mathrm dy$

L'opérateur espérance est linéaire ; en particulier, l'espérance (la moyenne) d'une somme de deux variables aléatoires est la somme des moyennes :

$E[X + Y] = E[X] + E[Y]\,$

Parmi ces espérances, une double transformation de Fourier conduit à la fonction caractéristique :

$\varphi_{XY} (\theta,\psi) = E[e^{i(\theta X + \psi Y)}]$

Un développement en série fait alors apparaître les moments que l'on peut centrer par soustraction des moyennes :

$E[X^m Y^n]\,$

Pour une variable seule, le moment d'ordre 1 (la moyenne) et le moment centré d'ordre 2 (la variance) contiennent une grande partie de l'information (la totalité pour une variable normale). A deux variables, il faut rajouter la covariance.

$E[X] = \overline X \qquad E[Y] = \overline Y$ $E[(X-\overline X)^2] \qquad E[(X-\overline X) (Y -\overline Y)] \qquad E[(Y-\overline Y)^2]$

Il est parfois intéressant de regrouper les moyennes dans un vecteur et de bâtir une matrice carrée de covariance comportant une diagonale constituée par les variances.

[modifier] Indépendance

Si la densité de probabilité conditionnelle de $X\,$ par rapport à $Y\,$ est identique à la densité marginale :

$p_{X}(x) = \frac {p_{XY}(x,y)} {p_{Y}(y)}$

on dit que les deux variables sont indépendantes. L'égalité se réécrit :

$p_{XY}(x,y) = p_{X}(x) p_{Y}(y)\,$

La fonction caractéristique de la somme des variables est alors égale au produit des fonctions caractéristiques individuelles :

$Z = X + Y \qquad \varphi_{Z} (\theta) = \varphi_{X} (\theta) \varphi_{Y} (\theta)$

Cette remarque est utilisée dans la démonstration du théorème de la limite centrale.

[modifier] Corrélation

Si la covariance est nulle

$E[(X-\overline X) (Y -\overline Y)] = 0$

on dit que les deux variables sont décorrélées. La formule se développe alors en

$E[XY] = E[X] E[Y]\,$

Si les deux variables sont indépendantes, elles sont décorrélées, l'inverse n'étant pas vrai, car l'indépendance implique tous les moments au lieu d'un seul.

Pour introduire le coefficient de corrélation on considère, $\lambda\,$ étant un nombre et les deux variables étant préalablement centrées, ce qui n'entraîne aucune restriction, la grandeur positive ou nulle

$E[(\lambda X + Y)^2] = \lambda^2 E[X^2] + 2 \lambda E[XY] + E[Y^2]\,$

Les propriétés du trinôme du second degré conduisent à définir le coefficient de corrélation compris entre -1 et 1 :

$\rho_{XY} = \frac {E[XY]} {\sqrt{E[X^2] E[Y^2]}}$

Lorsque ce coefficient est nul, les variables sont décorrélées. Lorsque sa valeur absolue vaut 1, elles sont liées fonctionnellement. Dans le cas intermédiaire, il mesure le degré de liaison entre les deux variables. En fait, cette notion de corrélation est particulièrement utile en statistique descriptive, sans référence aux lois de probabilité.

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