Magnétostatique

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La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c'est à dire ne dépendant pas du temps, c'est à dire ne variant pas dans le temps autrement dit tel que la dérivée par rapport au temps est nulle: $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=0$ Un champ magnétique statique se rencontre dans les cas de figure suivant:

lorsque le déplacement de charges électriques, forment un courant électrique ne dépendant pas du temps, on dit aussi que le courant est constant ou encore continu.
ou lorsque le champ magnétique est produit par un aimant, un matériau ferromagnétique immobile .

Sommaire

1 Calcul du champ magnétique produit par un courant constant
- 1.1 Exemples
2 Force magnétique
- 2.1 Potentiel vectoriel magnétique
3 Voir aussi

[modifier] Calcul du champ magnétique produit par un courant constant

La valeur du champ créé en un point M de l'espace par un élément conducteur dl au point P parcouru par un courant constant I est donnée par:

la loi de Biot et Savart : $d\vec{B}(M)=\frac{\mu_0 }{4\pi}\cdot I\cdot d\vec{OP} \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3}$

où

μ 0

est une constante appelée perméabilité du vide qui vaut, par définition, dans le Système international : $\frac{\mu_0 }{4\pi}= 10^{-7}$ H/m (Henry/mètre)

$\wedge$ indique le produit vectoriel.

Il convient alors d'effectuer la sommation sur tous les éléments de courant I dl des :

$\vec{B}(M)=\oint d\vec{B}(M)=\frac{\mu_0 }{4\pi}I \oint d\vec{OP} \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3}$

noter que $\oint d\vec{OP} \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3}$ est une quantité purement géométrique.

On démontre alors deux propriétés importantes du champ magnétique B :

div B = 0 ( B est à flux conservatif (cf analyse vectorielle)).
le théorème d'Ampère :

$\oint_c \vec{B}(M)\cdot d\vec{OM}=\mu_0 \sum I_{{enlac\acute{e}}}$

où

B est le champ magnétique

dl est élément linéique de la boucle fermée C

I est le courant qui traverse la surface S fermée par la boucle C

$\oint_c \vec{B}(M)\cdot d\vec{OM}$ désigne l'intégrale curviligne (ou circulation) le long de la boucle fermée C.

Le théorème d'Ampère en utilisant le théorème de Stokes conduit à une équation locale :

La forme locale est l'équation de Maxwell-Ampère qui s'écrit :

$\vec{\nabla} \wedge \vec{B}(M)=\mu_0\,\vec{j(M)}$ (ou bien $\vec{rot}\vec{B}(M)=\mu_0\,\vec{j}(M)$ )

Si les courants électriques sont dans un espace fini, le champ B(M) décroît à l'infini comme O(1/r^3). Ceci et les deux lois locales précédentes (div B(M) = 0 ; $\vec{rot}\vec{B}(M)=\mu_0\,\vec{j}(M)$ ), permet gràce au théorème d'Helmholtz de retrouver la loi de Biot et Savart: on peut donc les prendre pour base de la magnétostatique.

L'unité de champ magnétique, le Tesla noté T, est une unité très grande. Le Weber(W) vaut un Tesla.m² et via la loi de Faraday un Volt.s : donc 1T = 1V.s/m².

[modifier] Exemples

Champ d'un segment de fil parcouru par un courant I :

$\vec{B_\theta} (r)=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,(sin\alpha_1 -sin\alpha_2)\,\overrightarrow{u_\theta}$

où $\overrightarrow{u_\theta}$ est le vecteur tangentiel.

Cas d'un fil infini :

$\alpha_1=-\alpha_2=\pi/2\ \ B(M)=\frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}$

Champ créé sur l'axe d' une spire circulaire de rayon R :

$\vec{B_z} (z)=\frac{\mu_0 I}{2R}\,sin^3\alpha\,\vec{k}=\frac{\mu_0 I}{2}\,\frac{R^2}{(R^2+z^2)^{3/2}}\,\vec{k}$

donc par linéarité, dans un solénoïde infiniment long :

$\vec{B}(M) = \mu_0 \cdot n_1 \cdot I\cdot \vec{k}$ , si M est intérieur, et $\vec{0}$ ,si M extérieur.

n1 désignant le nombre de spires par unité de longueur.

si la spire est très petite, on parle alors de moment magnétique:

$\vec{m} = I \vec{S}$ , $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \vec{rot}[\vec{m} \wedge \frac{\vec{r}}{r^3}]$ , r non nul.

cf aussi champ d'une spire de courant

voir autres distributions magnétostatiques

[modifier] Force magnétique

Une charge électrique q se déplaçant dans un champ magnétique $\vec{B}$ subit la force de Lorentz :

$\vec{F} = q \vec{v} \wedge \vec{B}$

où $\vec{v}$ est la vitesse (au sens vectoriel) de cette charge.

Si un champ électrique $\vec{E}$ se superpose au champ magnétique, la force qui s'exerce sur la charge est la somme des forces électrique et magnétique :

$\vec{F} = q\cdot (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$

Cette force peut paraître étrange par son caractère "apparemment" non galiléen : en fait, il n'en est rien, elle s'accorde au contraire très bien à la relativité restreinte.

[modifier] Potentiel vectoriel magnétique

On peut définir le potentiel-vecteur $\vec{A}$ par l'équation de Maxwell-Faraday :

$\vec{B}=\vec{\nabla} \wedge \vec{A}$ (ou bien $\vec{B}=\vec{rot} \vec{A}$ )

(Cela vient aussi de Maxwell-flux car puisque $\vec{\nabla}.\vec{B}=0$ , $\vec{B}$ est un rotationnel, en effet $d i v (r o t) = 0$ )

Par conséquent avec Maxwell-Ampère en statique : $\vec{rot}\vec{B}= \mu_0 \vec{j}$ ,

$\vec{rot}(\vec{rot}\vec{A})= \mu_0 \vec{j}$

soit $\vec{grad}(div \vec{A}) - \nabla^{2} \vec{A} = \mu_0 \vec{j}$

or la jauge de Lorenz est $div \vec{A} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial V}{\partial t}=0$ en statique $div \vec{A}=0$ d'où :

$\nabla^{2} \vec{A} + \mu_0 \vec{j} = \vec{0}$ c'est une équation de Poisson

or dans le cas de l'électrostatique on avait l'équation de Poisson $\nabla^{2} V + \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0$ et la solution de cette équation pour une distribution localisée de charge est :