Mesure complète
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
Un espace mesuré (E,T,µ) est dit complet si toute partie µ-négligable est élément de T. Nous rappelons ici que A µ-négligeable veut dire A est contenu dans B où µ(B)=0
Théorème.
Tout espace mesuré (E,T,µ) peut être complété.
Preuve :
On pose N(µ)={A µ-negligeable}. On verifie facilement que N(µ) est un sigma-anneau. On considere la tribu T* engendrée par T et N(µ).
T* n'est que la classe des parties de E de la forme A=BU N où B est de T et N de 'N(µ)'. Sur T* on définit la fonction d'ensembles µ* telle que µ*(A)=µ(B). On montre que µ*(A) ne dépend pas du représentant choisi de A et que µ* est bien une mesure qui prolonge µ à T* Nous venons de construire un autre espace mesuré (E,T*,µ*) qui est par définition complet.
|
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
