Notations de Landau

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Sommaire

1 Notation grand O
2 Applications analytique
3 Autres notations asymptotiques: O, o, Ω, ω, Θ, Õ
4 Fonction à plusieurs variables
5 Voir aussi

[modifier] Notation grand O

La notation grand O (avec la lettre majuscule O, et non pas zéro), aussi appelée symbole de Landau, est un symbole utilisé en théorie de la complexité, en informatique, et en mathématiques pour décrire le comportement asymptotique des fonctions. Fondamentalement, elle indique avec quelle rapidité une fonction « augmente » ou « diminue ».

Le symbole de Landau porte le nom du mathématicien allemand spécialisé en théorie des nombres Edmund Landau qui utilisa cette notation introduite primitivement par Bachmann. La lettre O est utilisée parce que la course de la « croissance » d'une fonction est aussi appelée l'ordre.

Par exemple, en analysant un algorithme, nous pourrions trouver que le temps (habituellement compté comme le nombre d'étapes) nécessaire afin résoudre un problème de taille n est donné par T(n) = 4 n² - 2 n + 2. En ignorant les constantes (ce qui est fondé car elles dépendent du matériel particulier sur lequel le programme s'exécute) et les termes qui croissent le plus lentement, nous pourrions dire « T(n) croît comme n² » ou « T(n) est de l'ordre de n² » et nous écririons:T(n) = O(n²). En mathématiques, il est souvent important de garder un œil sur le terme d'erreur d'une approximation. Par exemple, nous pouvons écrire :

$e^x=1+x+ \frac{1}{2} x^2+O(x^3)\ {\rm quand}\ x\rightarrow 0$

pour exprimer le fait que l'erreur est plus petite en valeur absolue qu'un certain nombre (on dit plutôt: une constante) de fois x³ quand x est assez proche (tend vers) de 0.

Pour la définition formelle, supposons que f et g soient deux fonctions définies sur une partie de l'ensemble des nombres réels. Nous écrivons :

f(x) = O(g(x))

(ou f(x) = O(g(x)) quand x → ∞ pour être plus précis) si et seulement s’il existe des constantes N et C telles que

pour tout x>N, |f(x)| ≤ C |g(x)|.

Intuitivement, cela signifie que f ne croît pas plus vite que g.

Si a est un nombre réel, nous écrivons

f(x) = O(g(x)) quand x → a

si et seulement s’il existe des constantes d > 0 et C telles que

pour tout x tel que |x-a| < d, |f(x)| ≤ C |g(x)|.

La première définition est la seule utilisée en informatique (où typiquement seules les fonctions positives à variable entière n sont considérées; les valeurs absolues pouvent être ignorées), tandis que les deux définitions sont utilisées en mathématiques.

Dans le même esprit de manipulation des ordres de grandeur, la notation f(x) = o(g(x)) (cette fois avec un petit o) signifie que la fonction f est négligeable devant la fonction g, quand x tend vers une valeur particulière.

Formellement, pour $a \in \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ; -\infty \right\}$ ,et pour f et g deux fonctions de la variable réelle x, avec g qui ne s'annule pas sur un voisinage de a, on dit que

f(x) = o(g(x)) quand x → a si et seulement si

f(x) /g(x) → 0 quand x → a .

Cette notation est particulièrement utilisée en mathématiques dès que l'on a affaire à des développements limités, et à des calculs d'équivalents.

[modifier] Applications analytique

Voici une liste de catégories de fonctions qui sont couramment rencontrées dans les analyses d'algorithmes. Les fonctions de croissance les plus lentes sont listées en premier. c est une constante arbitraire.

notation		complexité
O(1)		constante
O(log(n))		logarithmique
O((log(n))^c)		polylogarithmique
O(n)		linéaire
O(n log(n))		parfois appelée « linéarithmique »
O(n²)		quadratique
O(n^c)		polynomiale, parfois « géometrique »
O(cⁿ)		exponentielle
O(n!)		factorielle

Notons que O(n^c) et O(cⁿ) sont très différents. Le dernier exprime une croissance bien plus rapide, et ce pour n'importe quelle constante c>1. Une fonction qui croît plus rapidement que n'importe quel polynôme est appelée super-polynomiale. Une fonction qui croît plus lentement que toute exponentielle est appelée sous-exponentielle. Il existe des fonctions à la fois super-polynômiales et sous-exponentielle comme par exemple la fonction n^log(n). Certains algorithmes ont un temps de calcul de ce type, comme celui de la factorisation d'un nombre entier.

Remarquons aussi, que O(log n) est exactement identique à O(log(n^c)). Les logarithmes diffèrent seulement d'un facteur constant, et que la notation grand « ignore » les constantes. De manière analogue, les logarithmes dans des bases constantes différentes sont équivalents.

La liste précédente est utile à cause de la propriété suivante : si une fonction f est une somme de fonctions, et si une des fonctions de la somme grimpe plus vite que les autres, alors celle qui croît le plus vite détermine l'ordre de f(n).

ex.: si f(n) = 10 log(n) + 5 (log(n))³ + 7 n + 3 n² + 6 n³, alors f(n) = O(n³).

[modifier] Autres notations asymptotiques: O, o, Ω, ω, Θ, Õ

Grand-O est la notation asymptotique la plus utilisé (souvent d'ailleurs pour signifier Θ (voir tableau plus bas)

Notation	Définition	Définition courte	Définition avec quantificateurs
$f(n) \in O(g(n))$	dominée asymptotiquement	$\limsup_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\| < \infty$	$\exists \;x_0,\exists \;M>0 \, /\, \|f(x)\| \le \; M \|g(x)\|\forall x>x_0.$
$f(n) \in \Omega(g(n))$	domine asymptotiquement	$\liminf_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\| > 0$	$\exists \;x_0,\exists \;M>0 \, / \, \|f(x)\| \ge \; M \|g(x)\|\forall x>x_0.$
$f(n) \in \Theta(g(n))$	équivalence asymptotique	$0 < \liminf_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\| \leq \limsup_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\|< \infty$	$f(n) \in O(g(n)) \mbox{ et } f(n) \in \Omega(g(n))$
$f(n) \in o(g(n))$	asymptotiquement négligeable	$\lim_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\| = 0$	$\forall M>0 \; \exists \;x_0 \,/\, \|f(x)\| < \; M \|g(x)\| \forall x>x_0.$
$f(n) \in \omega(g(n))$	asymptotiquement dominant	$\lim_{n \to \infty} \left\|\frac{f(n)}{g(n)}\right\| = \infty$	$\forall M \; \exists \;x_0 \,/\, \|f(x)\| > \; M \|g(x)\| \forall x>x_0.$

Après grand-O, les notations Θ et Ω sont les plus utilisées en informatique ; le petit-o est courant en mathématique mais plus rare en informatique.Le ω est peu usité.

Une autre notation parfois utilisée en informatique est Õ (soft-O en anglais) qui signifie grand-o à un facteur logarithmique près.

[modifier] Fonction à plusieurs variables

Nous pouvons signaler ici que le nombre d'opérandes dans la somme doit être constant et peut ne pas dépendre de n.

Cette notation peut aussi être utilisée avec des fonctions de plusieurs variables :

L'écriture:	f(n,m) = n² + m³ + O(n+m)
correspond à la proposition:	∃C ∃N ∀n,m>N : f(n,m)≤n²+m³+C(n+m)

Évidemment, cette notation abuse du symbole d'égalité, puisque elle viole l'axiome d'égalité: « des choses égales à la même chose sont égales entre elles ». Pour être plus formellement correctes, certaines personnes préfèrent définir O (g(x)) comme un ensemble de fonctions, dont les éléments sont toutes les fonctions qui ne grandissent pas plus vite que g, et utilisent les notations ensemblistes pour indiquer si une fonction donnée est un élément de l'ensemble ainsi défini. Les deux conventions sont couramment utilisées mais la notation la moins soignée est jusqu'à présent la plus souvent rencontrée.

Un autre problème est que la variable par rapport à laquelle le comportement asymptotique est examiné n'est pas clairement indiquée. Une affirmation telle que f(x,y) = O (g(x,y)) exige quelque explication supplémentaire pour préciser ce que cela signifie. Cette difficulté se produit rarement dans la pratique.