Opérateur compact

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En analyse, une application compacte est une application linéaire continue A entre deux espaces vectoriels topologiques localement convexes X et Y envoyant parties bornées sur parties relativement compactes. Lorsque X=Y, on parle d'opérateur compact. Les applications compactes généralisent les applications linéaires continues de rang fini. L'étude relève de l'analyse fonctionnelle à proprement parler.

La théorie est particulièment intéressante pour les espaces vectoriels normés ou les espaces de Banach. En particulier, dans un espace de Banach, l'ensemble des opérateurs compacts est fermé pour la topologie forte. La perturbation par des opérateurs compacts préserve la propriété d'être de Fredholm et l'indice de Fredholm.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Exemple
2 Propriétés
- 2.1 Exemple
3 Spectre des opérateurs compacts
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Bibliographie

[modifier] Définition

Une partie bornée d'un evtlcs X est un sous-ensemble inclus dans k.V pour k suffisamment grand, pout tout voisinage V de 0 dans X. Une application linéaire A de X dans Y est dite compacte lorsqu'il vérifie les propriétés équivalentes suivantes :

A envoie toute partie bornée de X sur une partie relativement compacte de Y ;
Il existe une base de voisinages de 0 dans X envoyés sur une partie relativement compacte de Y.

Si X est normalisable, pour une norme donnée de X, ces propriétés sont équivalentes à ce que la boule unité de X soit envoyée sur une partie relativement compacte de Y.

[modifier] Exemple

Toute application linéaire continue de rang fini d'un evtlcs dans un evtlcs est compact. En effet, toute application linéaire continue envoie partie bornée sur partie bornée. Or, sur un espace vectoriel de dimension finie, il n'existe qu'une seule structure d'evtlcs, et les parties bornées sont compactes.

[modifier] Propriétés

Si K est compact de X dans Y

l'image de toute partie bornée de l'espace de départ X est relativement compacte dans Y ;

pour toute suite bornée $(x_ n)_{n\in \mathbb N}$ d'éléments de X, la suite des images $(Kx_n)_{n\in\mathbb N}$ admet une sous-suite convergente.

Il s'agit là de propriétés caractéristiques. On peut en outre préciser quelques propriétés de l'ensemble des opérateurs compacts de X dans Y

il s'agit d'un espace vectoriel ;

le composé d'un opérateur borné et d'un compact est un opérateur compact ;

par le théorème de Riesz, l'application identité sur un espace vectoriel E est un opérateur compact si et seulement si E est de dimension finie ;

une limite (en norme d'opérateur) d'opérateurs compacts est compacte. Ce qui signifie que l'espace K(X,Y) des opérateurs compacts est un sous-espace fermé de celui des opérateurs bornés.

Dans le cas où X=Y, il s'agit d'un idéal bilatère fermé de l'algèbre de Banach L(X). Il est possible d'introduire la structure quotient $L (X) / K (X)$ , appelée algèbre de Calkin.

Une des raisons qui ont présidé à l'introduction de la notion d'opérateurs compacts est leur intérêt pour la théorie de Fredholm. Notamment, si T est un opérateur de Fredholm et K un opérateur compact de X sur Y, alors T+K est un opérateur de Fredholm de même indice que T : c'est le théorème de stabilité de l'indice pour les opérateurs de Fredholm.

[modifier] Exemple

Soit $g \in C[0,1]$ , et l'opérateur K défini par

$K(f)(x) = \int_0^x f(t)g(t)dt$

Le théorème d'Ascoli montre qu'il s'agit d'un opérateur compact.

[modifier] Spectre des opérateurs compacts

Comme précédemment, on considère un opérateur compact L, endomorphisme de l'espace de Banach X sur le corps des complexes. Le spectre de L est lui-même compact, au plus dénombrable, et ne comportant aucun point d'accumulation, à l'exception éventuelle de 0. Il s'agit donc

soit d'un ensemble fini contenant 0
soit d'un ensemble infini contenant 0. Dans ce cas les éléments du spectre autres que 0 peuvent être ordonnés en une suite vérifiant

et de limite nulle.

Notamment, pour un réel $δ > 0$ donné, il n'y a qu'un nombre fini d'éléments $λ$ appartenant au spectre et de module supérieur à $δ$ .

Les complexes $\lambda \neq 0$ appartenant au spectre jouissent de propriétés communes car l'opérateur $L - λI$ est alors de Fredholm, d'indice 0. Notamment les éléments $λ$ du spectre autres que 0 sont tous des valeurs propres, c'est-à-dire que $L - λI$ est non injectif. Et la dimension du noyau $L - λI$ est finie, égale à la codimension de l'image.