Opérateur d'évolution

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En mécanique quantique, l'opérateur d'évolution est l'opérateur qui transforme l'état quantique au temps $t 0$ en l'état quantique au temps $t$ résultant de l'évolution du système sous l'effet de l'opérateur hamiltonien. Cet opérateur est noté $U (t, t 0)$ et on a la relation:

$\mid \psi\rangle(t)=U(t,t_0) \mid \psi\rangle(t_0)$

L'opérateur a les propriétés suivantes:

C'est un opérateur linéaire
$U (t 0, t 0) = 1$
$U (t 2, t 1) U (t 1, t 0) = U (t 2, t 0)$
$U (t, t 0)$ est un opérateur unitaire ( $U^\dagger U=U U^\dagger=1$ ).

Les trois premières propriétés sont des conséquences évidentes de l'équation d'évolution du premier ordre. La dernière propriété vient de ce que la probabilité totale doit etre conservée par l'équation d'évolution.

L'opérateur d'évolution doit satisfaire à l'équation:

$i\hbar \frac{\partial U(t,t_0)}{\partial t} = H U(t,t_0)$ Dans le cas d'un système quantique dont l'opérateur Hamiltonien $H$ est indépendant du temps, l'opérateur d'évolution s'écrit:

$U(t,t_0)=e^{-\frac i \hbar H(t-t_0)}$

Pour un système dont le Hamiltonien est dépendant du temps, on peut résoudre par itération l'équation différentielle satisfaite par l'opérateur $U$ . On obtient:

$U(t,t_0)=1-\frac i \hbar \int_{t_0}^t H(t_1) dt_1 +\frac {i^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t dt_1 \int _{t_0}^{t_1} H(t_1) H(t_2) + \ldots +\frac{i^n}{\hbar^n} \int_{t_0}^t dt_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H(t_1) \ldots H(t_n)$

L'écriture de cette expression peut etre simplifiée en introduisant l'opérateur de produit chronologique tel que:

$T(H(t_1) \ldots H(t_n)) = H(t_{\sigma(1)}) H(t_{\sigma(2)}) \ldots H(t_{\sigma(n)})$

où dans le membre de gauche l'ordre des temps est quelconque, et dans le membre de droite le permutation $σ$ de l'ensemble $\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$ est telle que $t_{\sigma(1)}>t_{\sigma(2)}>\ldots >t_{\sigma(n)}$ .

On a alors: $U(t,t_0)=T \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt' H(t')\right)$

Cette relation est utilisée en théorie quantique des champs pour la construction des diagrammes de Feynman.

L'opérateur d'évolution permet d'établi l'équivalence entre la représentation de Schroedinger et la représentation de Heisenberg.

Dans la représentation de Schroedinger, les opérateurs sont indépendants du temps et les états sont dépendants du temps. Dans la représentation de Heisenberg, les opérateurs sont dépendants du temps et les états indépendants du temps. Le passage d'une représentation à l'autre se fait au moyen de l'opérateur d'évolution:

$\mid \psi \rangle_S(t)=U(t,0)\mid \psi \rangle_H$ $A_H(t)=U^\dagger(t,0) A_S U(t,0)$

[modifier] Bibliographie

A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod)

J. L. Basdevant, Cours de mécanique quantique de l'école Polytechnique (Ellipses)

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Mécanique Quantique (Herrmann)

L. Landau, E. M. Lifshitz, Cours de physique théorique tome 3: Mécanique Quantique (Mir)

L. Landau, E. M. Lifshitz, V. L. Berestestkii, Cours de physique théorique tome 4: Electrodynamique Quantique (Mir)

N. M. Bogoliubov et D. V. Shirkov, Introduction à la théorie des champs quantifiés (Dunod)

D. Kastler, Électrodynamique Quantique (Dunod)

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