Opérations sur les dérivées

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Mathématiques élémentaires

Algèbre

Cette page est une annexe de l'article dérivée (mathématiques élémentaires). Dans tout l'article, $I \,\!$ et $J \,\!$ seront des intervalles réels.

On peut déterminer la dérivée de n'importe quelle fonction en utilisant les différentes propriétés suffisantes.

Sommaire

1 Linéarité
- 1.1 Multiplication par un réel
- 1.2 Somme
2 Produit et quotient
3 Composition
- 3.1 Composée
- 3.2 Bijection réciproque

[modifier] Linéarité

[modifier] Multiplication par un réel

Soient $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ une fonction dérivable sur $I \,\!$ et $\alpha \,\!$ un réel fixé. Le produit $\alpha f \,\!$ est dérivable sur $I \,\!$ et :

$(\alpha f)'=\alpha f' \,\!$

[modifier] Somme

Soient $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ et $g \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ deux fonctions dérivables sur $I \,\!$ . Leur somme $f+g \,\!$ est dérivable sur $I \,\!$ et :

$(f+g)' = f'+g' \,\!$

[modifier] Produit et quotient

[modifier] Produit

Soient $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ et $g \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ deux fonctions dérivables sur $I \,\!$ . Leur produit $fg \,\!$ est dérivable sur $I \,\!$ et : $(fg)' = f'g + fg' \,\!$

[modifier] Puissance

Soit $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ une fonction dérivable sur $I \,\!$ . La fonction $f^n \, , \, n \in \R \,$ est dérivable sur $I \,\!$ , sa dérivée est donnée par : $(f^n)' = nf^{n-1}\,\!$

[modifier] Inverse

Soit $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ une fonction dérivable sur $I \,\!$ . L'inverse $\frac{1}{f} \,\!$ de $f \,\!$ est dérivable sur l'ensemble des $x \in I \,\!$ tels que $f(x) \neq 0 \,\!$ et sa dérivée est donnée par : $\left( \frac{1}{f} \right)' = -\frac{f'}{f^2} \,\!$

[modifier] Quotient

Soient $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ et $g \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ deux fonctions dérivables sur $I \,\!$ . Le quotient $\frac{f}{g} \,\!$ est dérivable sur l'ensemble des $x \in I \,\!$ tels que $g(x) \neq 0 \,\!$ et sa dérivée est donnée par : $\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2} \,\!$

[modifier] Composition

[modifier] Composée

Soient $f \, : \, I \rightarrow \R\,\!$ et $g \, : \, J \rightarrow \R\,\!$ deux fonctions dérivables respectivement sur $I \,\!$ et $J \,\!$ . On suppose que l'image par $f \,\!$ de l'intervalle $I \,\!$ est incluse dans $J \,\!$ : $f(I) \subset J \,\!$ .

Alors la fonction composée $g \circ f \,\!$ définie par $\forall x \in I, \ g \circ f (x) = g(f(x)) \,\!$ est dérivable sur $I \,\!$ et :

$(g \circ f)' = f' \cdot (g' \circ f) \,\!$

[modifier] Bijection réciproque

Soit $f \, : \, I \rightarrow J \,\!$ une fonction bijective dérivable sur $I \,\!$ . Alors la fonction réciproque $f^{-1} \, : \, J \rightarrow I\,\!$ est dérivable en tout point $y \in J \,\!$ tel que $f'(f^{-1}(y)) \neq 0 \,\!$ et pour un tel $y \,\!$ :