Paradoxe du barbier
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Le paradoxe du barbier est une illustration à but didactique du paradoxe de Russell, attribuée à Bertrand Russell lui même. Il ne faut donc pas donner une importance excessive à ce « paradoxe », que le logicien E. W. Beth qualifie d'« antinomie prétendue » ou de « pseudo-antinomie ».
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[modifier] Énoncé du paradoxe du barbier
On peut énoncer le paradoxe ainsi :
Le conseil municipal d'un village arrête une ordonnance qui enjoint à son barbier (masculin) de raser tous les habitants masculins du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement ceux-ci.
Le barbier, qui est bien un habitant du village, n'a pas pu respecter cette règle car :
- S'il se rase lui-même, il enfreint la règle, car le barbier ne peut raser que les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes ;
- S'il ne se rase pas lui-même (qu'il se fasse raser ou qu'il conserve la barbe), il est en tort également, car il a la charge de raser les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Cette règle est donc inapplicable. S'agit-il pour autant d'un paradoxe ? Il n'y a aucune raison de penser qu'un conseil de village ou toute autre instance ne puisse rendre une ordonnance absurde. De fait, loin d'être une antinomie logique, ce « parodoxe » montre simplement qu'un barbier respectant cette règle ne peut exister. Il s'agit d'une illustration de ce que, si R est une relation binaire quelconque (en l'occurrence «... rase ... »), l'énoncé suivant, écrit en langage formel :
- ¬ ∃y ∀x (y R x ⇔ ¬ x R x)
est une formule universellement valide du calcul des prédicats du premier ordre. On se reportera à l'article sur le paradoxe de Russell pour voir pourquoi cela peut conduire, dans le cas de la relation d'appartenance dans une théorie des ensembles trop naïve, à une véritable antinomie, c'est à dire à une contradiction démontrée dans la théorie.
Le paradoxe du barbier constitue une illustration particulièrement simple de l'argument diagonal de Cantor, ce qui ne signifie pas que ce dernier se réduit à celui-ci.
[modifier] Autres déclinaisons
- Une encyclopédie qui répertorie toutes les encyclopédies ne se répertoriant pas elles-mêmes : qui répertorie cette encyclopédie ? (paradoxe décrit par Martin Gardner)
- Adaptation à la question de Dieu : En posant la question "Dieu peut-il créer une pierre si lourde qu'il ne pourra pas la soulever", et en présupposant que Dieu est une entité au pouvoir absolu et infini, la conclusion renvoie à celle du paradoxe du barbier, à savoir "Dieu n'existe pas". Un début de généralisation en vue d'une analyse plus poussée pourrait être : "Un être absolu et tout-puissant peut-il se vaincre lui-même ?".
[modifier] Articles connexes
[modifier] Sources
E. W. Beth, Les fondements logiques des mathématiques - Gauthier-Villars (Paris) / E. Nauwelaerts (Louvain) 1950.
