Pendule de Bessel

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Quand la longueur d'un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + v.t , on dit qu'il s'agit d'un pendule de Bessel , car la solution (pour de petites oscillations) s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel.

Si v est faible , on peut retrouver l'invariant adiabatique E(t).T(t) ( voir pendule adiabatique).

Sommaire

1 Equation du pendule de longueur variable
2 Equation de Bessel
3 Résolution avec les conditions initiales
4 Conclusion
5 Voir aussi

[modifier] Equation du pendule de longueur variable

le pendule de longueur variable a pour équation :

Revenir à la variable élongation $θ$ ; poser l'unité de longueur L = v²/2g; l'unité de temps v/g :

On reconnaît le circuit LRC avec self variable linéairement; c'est un problème classique ( voir obtention de champs magnétiques intenses); on a la possibilité de transformer cette équation avec une nouvelle échelle de temps :

[modifier] Equation de Bessel

Choisir comme nouvelle échelle de temps 2l(t)/L , ou mieux sa racine carrée,x : on obtient pour $y := \theta\cdot{x}$ , l'équation:

, équation de Bessel, avec ici n=1.

L'avantage est que l'on connaît parfaitement la résolution de cette équation à l'aide des fonctions de Bessel, fonctions classiques de la physique mathématique ( cf Campbell, par exemple): y(t) = A Jn(x) + b Yn(x), soit ici A J1(x) + B Y1(x).

[modifier] Résolution avec les conditions initiales

On prend t = 0 à un moment où theta passe par un maximum

Quelques calculs (faciles mais longs : 2 equations linéaires en A et B) donnent finalement :

avec ,  et

et

Ce qui donne la joie de voir sur un logiciel, soit theta(t) soit l'arc AM(t) , soit E(t)T(t) quand v est faible ( cf pendule adiabatique). Certes si v est négatif, x devient nul quand l(t) est nul : alors theta est infinie : l'approximation des petites oscillations est invalide dans ce cas.

[modifier] Conclusion

bien sûr, n'importe quelle méthode numérique type Runge-Kutta donne les mêmes résultats. Par contre, seul le calcul exact permet d'avoir la récurrence entre les valeurs maximales de theta.sqrt(l(t)), et surtout de comprendre pourquoi c'est au fond la bonne fonction inconnue, fonction de la bonne variable sqrt(l(t)).Malgré tout, l'exercice reste bien mathématique pour une physicienne. Il faudrait approfondir la notion de transfert d'énergie.

On pourra consulter avec profit le pendule adiabatique.