Résultant

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En algèbre, le résultant de deux polynômes est un scalaire qui permet de vérifier s'ils possèdent des facteurs communs. Il peut être calculé à partir des coefficients des polynômes en calculant le déterminant de leur matrice de Sylvester. On peut aussi l'obtenir à partir des racines des polynômes si ceux-ci sont scindés.

[modifier] Le résultant comme déterminant de Sylvester

Le résultant de deux polynômes P,Q non constants est le déterminant de leur matrice de Sylvester. On le notera R(P,Q).

Si les polynômes sont de degrés respectifs m et n, la matrice de Sylvester est de taille m+n, avec les m premières lignes linéaires en le polynôme P, les n suivantes en le polynôme Q. Le résultant vérifie donc les formules

$R(\lambda P,Q)=\lambda ^{\deg P} R(P,Q)\qquad R(P,\lambda Q)=\lambda ^{\deg Q} R(P,Q)$

Le résultant est non nul si et seulement si les deux polynômes sont premiers entre eux. Enfin il y a une propriété de symétrie qui dépend des valeurs des degrés

$R(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} R(Q,P)$

[modifier] Le résultant calculé à partir des racines

Le résultant de deux polynômes scindés P et Q peut être calculé en fonction des coefficients dominants p et q et des racines de ces polynômes

$R(P,Q) =p^{\deg Q} q^{\deg P}. \prod_{\{x,P(x)=0\}} \prod_{\{y,Q(y)=0\}} (y-x),\,$

On peut toujours se ramener à cette configuration, quitte à introduire les corps de rupture des polynômes. Cette formule montre par exemple que translater les deux polynômes ne change pas leur résultant $R (P (X + a), Q (X + a)) = R (P, Q)$ .