Spectre d'anneau

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Le spectre d'anneau est très utilisé en géométrie algébrique, où il sert d'espace de base pour la construction des schémas.

Sommaire

1 Définition ensembliste
2 Topologie de Zariski
3 Faisceau structural
4 Exemples

[modifier] Définition ensembliste

Le spectre d'un anneau $A$ est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note $Spec\,A$ .

En général, on suppose que $A$ est commutatif et unitaire.

[modifier] Topologie de Zariski

[modifier] Définition

À tout idéal $I$ de $A$ , on associe $Z (I)$ , qui est l'ensemble des idéaux premiers de $A$ qui contiennent $I$ . Cette famille contient $Spec\,A$ tout entier ( $Z (0)$ ), l'ensemble vide ( $Z (1 A)$ ), et est stable par union finie et intersection quelconque. Elle forme donc les fermés d'une topologie sur $Spec\,A$ , que l'on appelle topologie de Zariski.

Pour tout élément $f$ de $A$ , l'ensemble des idéaux premiers de $A$ ne contenant pas $f$ est un ouvert de Zariski de $Spec\,A$ noté $D (f)$ ; on appelle parfois distingués les ouverts de cette forme, ils constituent une base de la topologie de Zariski sur $Spec\,A$ .

[modifier] Point générique

Si $A$ est intègre, alors l'idéal nul est un idéal premier, c'est un point de $Spec\,A$ qui est dense : c'est le point générique de $Spec\,A$ .

[modifier] Notion de séparation

[modifier] Faisceau structural

À un isomorphisme unique près, il existe un unique faisceau d'anneaux commutatifs sur l'espace topologique $Spec\,A$ dont l'anneau des sections sur un ouvert de la forme $D (f)$ (pour $f\in A$ ) s'identifie à l'anneau localisé $A\left[1/f\right]$ .

La donnée de l'espace topologique $Spec\,A$ muni de ce faisceau d'anneaux (appelé faisceau structural) constitue un espace annelé. Si $U$ est un ouvert de $Spec\,A$ , l'anneau des sections sur $U$ du faisceau structural est appelé par abus de langage anneau des fonctions régulières sur $U$ .

Pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$ , l'anneau des germes de fonctions régulières en $\mathfrak{p}\in Spec\,A$ s'identifie au localisé $A_{\mathfrak{p}}$ de $A$ en l'idéal premier $\mathfrak{p}$ . L'espace annelé $Spec\,A$ est ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux ; par définition, il s'agit d'un schéma affine.

[modifier] Exemples

$Spec\,\mathbb Z$ , est du point de vue ensembliste, l'ensemble des nombres premiers, qui correspondent aux idéaux $p\mathbb Z$ , et le point $0$ , qui correspond à l'idéal nul. Ce dernier est générique.