Statistiques élémentaires continues

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Mathématiques élémentaires

Dans une enquête statistique, lorsque le caractère statistique peut prendre des valeurs multiples (taille, superficie, salaire…) le caractère statistique est considéré comme continu.

Sommaire

1 Traitement des données
2 Moyenne
3 Représentations graphiques
- 3.1 Histogramme
- 3.2 Polygone des fréquences cumulées
4 Variance et écart type
5 Voir aussi

[modifier] Traitement des données

Lorsque les résultats de l'enquête statistique sont trop nombreux pour que la liste triée des valeurs soit lisible, on préfère perdre de l'information et ranger les données par intervalles appelés classes. Il faut alors que, dans chaque classe, la répartition des valeurs soit régulière. Sinon, il faut affiner et prendre des classes plus petites. Il n'est pas indispensable que les classes soient de même amplitude, mais il est préférable de ne pas définir de classes de la forme « plus de ... » qui empêcherait alors tout traitement ultérieur (histogramme, moyenne...). On compte alors le nombre de fois où la valeur du caractère tombe dans l'intervalle $[x i; x i + 1 [$ , ce nombre est appelé effectif de la classe $[x i; x i + 1 [$ .

Exemple de tableau statistique à classes : Répartition des revenus annuels en milliers d'euros dans une population de 4370 personnes.

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 exclus	entre 8 (inclus) et 12 exclus	entre 12 (inclus) et 16 exclus	entre 16 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 40 exclus	entre 40 (inclus) et 60 exclus	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370

Les effectifs ici sont trop grands pour que l'on puisse se faire une idée simple de la répartition, on préfère alors travailler en pourcentages ou fréquences et se ramener ainsi à une population de 100.

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 exclus	entre 8 (inclus) et 12 exclus	entre 12 (inclus) et 16 exclus	entre 16 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 40 exclus	entre 40 (inclus) et 60 exclus	Total
Fréquences	7,0	5,3	8,8	27,0	33,6	13,0	5,3	100

[modifier] Moyenne

Puisque l'on a estimé que la répartition dans chaque classe était régulière, on peut affirmer que le milieu de la classe est représentatif de la classe. On va donc remplacer les $n i$ individus de la classe $[x i; x i + 1 [$ par $n i$ individus dont le caractère statistique prendrait la valeur $m_i = \frac{x_i+x_{i+1}}{2}$ . Puis on calcule la moyenne comme dans le cadre de la variable discrète :

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 exclus	entre 8 (inclus) et 12 exclus	entre 12 (inclus) et 16 exclus	entre 16 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 40 exclus	entre 40 (inclus) et 60 exclus	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370
Salaire moyen de chaque classe	4	10	14	18	25	35	50	total des salaires
Total des salaires de chaque classe	1224	2310	5390	21240	36700	19880	11600	98344

Le salaire moyen parmi cet échantillon est donc de 98344/4370 = 22,5 soit environ 22500 Euros annuels.

La formule utilisée ici est : $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N n_im_i}{\sum_{i=1}^N n_i}$

La moyenne est un des critères de position.

[modifier] Représentations graphiques

[modifier] Histogramme

Voir article détaillé : Histogramme

Pour représenter graphiquement cette enquête statistique, le diagramme en bâtons est inapproprié. En effet, plus la classe est grande, plus l'effectif risque d'être important. Il faut donc représenter l'effectif de chaque classe par un rectangle dont la base est l'amplitude de la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. Ce diagramme s'appelle un histogramme.

Exemple: si 1% est représenté par 1 carreau unité.

Salaires	entre 0 (inclus) et 8 exclus	entre 8 (inclus) et 12 exclus	entre 12 (inclus) et 16 exclus	entre 16 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 40 exclus	entre 40 (inclus) et 60 exclus
Fréquences	7,0	5,3	8,8	27,0	33,6	13,0	5,3
Amplitudes $a i = x i + 1 - x i$	8	4	4	4	10	10	20
Hauteurs $h i = f i / a i$	0,9	1,3	2,2	6,8	3,4	1,3	0,3

Il ne reste plus qu'à tracer l'histogramme:

Remarque: si les amplitudes des classes sont identiques, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

[modifier] Polygone des fréquences cumulées

Puisque la répartition dans chaque classe est supposée régulière, on peut admettre que l'accroissement de la fréquence est une fonction linéaire. On trace alors le polygone des fréquences cumulées croissantes qui permet de lire la fréquence de la classe $[x 1; x]$ pour tout x.

Au préalable, il faut remplir le tableau des fréquences cumulées:

$x i$	0	8	12	16	20	30	40	60
fréquences cumulées croissantes	0	7	12,3	21,1	48,1	81,7	94,7	100

Il ne reste plus qu'à tracer le polygone:

Polygone des fréquences cumulées croissantes

On peut construire de même le polygone des fréquences cumulées décroissantes.

[modifier] Variance et écart type

Les formules précédemment établies pour les variables discrètes restent valables à condition de remplacer $x i$ par $m i$ milieu de la classe $[x i; x i + 1 [$ :