Théorème de Balian-Low

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En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier du à Roger Balian et Francis Low.

Sommaire

1 Théorème de Balian-Low
2 Énoncé équivalent
- 2.1 Famille de Gabor
- 2.2 Théorème de Balian-Low
3 Articles liés
4 Bibliographie

[modifier] Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m and n :

$g_{m,n}(x)\ = \ e^{2\pi i m x} \ g(x - n),$

Si l'ensemble des $\{g_{m,n}: m, n \in \mathbb{Z}\}$ forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ , alors ou bien :

$\int_{-\infty}^\infty x^2 \ | g(x)|^2\ dx \ = \ \infty \quad \textrm{,} \ \textrm{ou} \ \textrm{bien} \ \textrm{:} \quad \int_{-\infty}^\infty \xi^2 \ |\hat{g}(\xi)|^2\ d\xi \ = \ \infty.$

où $\hat{g}(\xi)$ est la transformée de Fourier de la fonction g(x).

[modifier] Énoncé équivalent

[modifier] Famille de Gabor

On appelle famille de Gabor tout ensemble :

$f_{m,n}(t)\ = \ e^{2\pi i m F_0 t} \ f(t - n T_0),$

où f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, appelée fonction prototype, $F 0$ et $T 0$ deux constantes réelle, et (m,n) un couple d'entiers. On appelle densité de la famille le nombre réel :

$d \ = \ \frac{1}{F_0 \, T_0}$

[modifier] Théorème de Balian-Low

Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence.

[modifier] Articles liés

Analyse de Fourier
Théorie du signal
Analyse temps/fréquence
Ondelette

[modifier] Bibliographie

Roger Balian ; Un principe d'incertitude fort en théorie du signal ou en mécanique quantique, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 292 (1981), 1357-1362.
Francis Low ; Complete sets of wave packets, dans : C. DeTar (editor) ; A Passion for Physics - Essay in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific (Singapour-1985), 17-22.
Yves Meyer ; Le traitement du signal et l'analyse mathématique, Annales de l'institut Fourier 50 (2) (2000), 593-632. Numdam
J. Benedetto, C. Heil & D. Walnut, Differentiation and the Balian-Low theorem, J. Fourier Analysis and Applications 1 (1995).