Théorème de Riesz-Fischer
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En mathématiques, le théorème de Riesz-Fischer dit qu'une fonction est de carré intégrable si et seulement si la série de Fourier correspondante converge dans l'espace L2.
Cela signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction f est donnée par
où Fn est le nième coefficient de Fourier donné par
,
alors
où 
est la norme L2 qui peut s'écrire pour une fonction g
Inversement, si 
est une suite de nombres complexes indicée de 
à 
telle que
alors il existe une fonction f de carré intégrable telle que les an sont les coefficients de Fourier de f.
Le théorème de Riesz-Fischer généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer le théorème de Parseval pour les séries de Fourier.
Le mathématicien hongrois Frigyes Riesz et le mathématicien autrichien Ernst Fischer ont démontré de manière indépendante ce théorème en 1907.
[modifier] Références
- (en) Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
- (en) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem
[pdf].
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