Théorème du bicommutant de von Neumann
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Le théorème du bicommutant de von Neumann est un théorème d'analyse fonctionnelle qui établit un lien entre la fermeture d'un ensemble d'opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert dans certaines topologies et le bicommutant de cet ensemble. Il s'agit donc d'une connexion entre les aspects algébriques et topologiques de la théorie des opérateurs.
Voici ce qu'exprime formellement le théorème : Soit A une algèbre d'opérateurs (linéaires) bornés sur un espace de Hilbert H, contenant l'opérateur identité et fermée sous la prise des adjoints. Alors les clotures de A pour la topologie faible et pour la topologie forte sont toutes deux égales au bicommutant A'' de A. Cette algèbre est l'algèbre de von Neumann engendrée par A.
On peut définir plusieurs autres topologies sur l'espace des opérateurs bornés, et l'on peut se demander quelles sont les *-algèbres qui sont fermées pour ces topologies. Si A est fermée pour la topologie de la norme, alors c'est une C*-algèbre mais pas nécessairement une algèbre de von Neumann. Pour la plupart des autres topologies habituelles, les *-algèbres fermées contenant l'unité sont encore des algèbres de von Neumann ; c'est notamment le cas pour les topologies faible, forte, forte-*, ultrafaible, ultraforte et ultraforte-*.
[modifier] Voir aussi
- Théorème de densité de Jacobson.
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