Théorème du viriel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théorème du viriel est un théorème physique qui énonce que

dans un système en équilibre dynamique, l'énergie cinétique E_c égale la moitié de l'énergie potentielle E_p

2E_c - E_p = 0.

Ce résultat est une simple conséquence du principe fondamental de la dynamique, appliqué à un ensemble de masses en interaction gravitationnelle réciproque (système à N corps).

L'énergie totale E = E_c + U vaut donc

$E = \frac{1}{2} E_p = - E_c$ .

Il peut aussi être généralisé à d'autres domaines, sous la forme

2E_c = a·E_p

où a est la puissance de r dans l'expression de E_p ; on retrouve bien la forme précitée car a vaut -1 pour la force gravitationnelle.

Sommaire

1 Démonstration
2 Applications
- 2.1 En astrophysique
  - 2.1.1 L'énigme de la matière noire
- 2.2 En thermodynamique
3 Ressources externes

[modifier] Démonstration

[modifier] En dynamique à N-corps

Hypothèse: un système de N corps massifs isolé ; chaque corps ne subit donc que les seules forces gravitationnelles de ses voisins.

Le principe fondamental de la dynamique énonce que pour chaque corps i, la force gravitationnelle s'écrit :

$F_i = -\sum_j G m_i m_j \frac{r_i-r_j}{|r_i-r_j|^3} = m_i \frac{d^2r_i}{dt^2}$

En multipliant par $r i$ et en sommant sur toutes les masses i, cela donne :

$\sum_i F_i r_i = -\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}$

$-\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}$

Avec :

$\frac{d^2}{dt^2}(r_i^2)=2(\frac{dr_i}{dt})^2+2r_i\frac{d^2r_i}{dt^2}$ ,

et sachant que (par échange des indices muets) :

$\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}$

d'où :

$-2\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} + \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}\right) = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{(r_i-r_j)^2}{|r_i-r_j|^3}\right)$

il vient :

$- \frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} = \frac{1}{2}\sum_i m_i\left(\frac{d^2(r_i^2)}{dt^2} - 2(\frac{dr_i}{dt})^2\right)$

d'où finalement :

$-\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} + \sum_i m_i(\frac{dr_i}{dt})^2 = \frac{1}{2} \frac{d^2}{dt^2}(\sum_i m_ir_i^2)$

On reconnaît dans cette équation :

l'énergie potentielle

$E_p = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|}$

deux fois l'énergie cinétique

$E_c = \frac{1}{2} \sum_i m_i(\frac{dr_i}{dt})^2$

la dérivée seconde de l'inertie

$I = \sum_i m_i r_i^2$

À l'équilibre, Ï = 0 donc

E_p + 2E_c = 0

ce qu'il fallait démontrer.

[modifier] En physique quantique

Enoncé : $2 < T > = n < V > \,$

$< T >\,$ correspond à la valeur moyenne de l'énergie cinétique

$< V >\,$ correspond à la valeur moyenne du potentiel s'exprimant $V(x)=\lambda * x^{n}\,$

Démonstration:

1. Montrons que $< [H,XP] > = 0\,$

$< [H,XP] > = < \phi|HXP| \phi> - < \phi|XPH| \phi>\,$

Or, $H| \phi> = E | \phi>\,$ et $< \phi|H = E < \phi|\,$

Ainsi $< [H,XP] > = E < \phi|XP| \phi> - E < \phi|XP| \phi>\,$

2. Travail sur $[H,XP]\,$

$[H,XP] = HXP - XPH = HXP -XHP +XHP -XPH\,$

Alors, $[H,XP] = [H,X]P + X[H,P]\,$

3. Exprimons $[H,X]\,$ et $[H,P]\,$

$[H,X] = -[X,H] = \frac{-[X,P^2]}{2m} = \frac{-ih \cdot P}{m}\,$

$[H,P] = [V(x),P] = ih \frac{\partial V}{\partial x}\,$

4. Revenons sur $< [H,XP] > = 0\,$

$< [H,XP] > = 0\,$

Alors, en utilisant 2., on trouve:

$0 = < [H,X]P > + < X [H,P] >\,$

De, même,en utilisant 3., on trouve

$< \frac{P^2}{m} > = n < V >$

D'où le résultat espéré:

$2 < T > = n < V > \,$

[modifier] En thermodynamique

[modifier] Applications

[modifier] En astrophysique

Le théorème du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimés à partir des observations :

E_c ~ ½MV²
E_p ~ - GM²/R

Il vient alors 2E_c = - E_p <=> M = RV²/G

[modifier] L'énigme de la matière noire

Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité, on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible. La constatation d'une différence considérable (facteur 10 à l'échelle des galaxies et facteur 100 à l'échelle des amas) entre les deux grandeurs a conduit les astrophysiciens à supposer l'existence de matière noire, c'est-à-dire non détectable par nos instruments. La seule autre explication possible serait que la loi de la gravitation n'est pas valable à grande échelle, mais aucune piste en ce sens n'a donné de résultat à ce jour.

On peut montrer que cette matière noire domine la masse des galaxies à l'extérieur du disque, dans le halo où elle s'étend jusqu'à 100-200 kiloparsecs (kpc) -- contre 10-20 kpc pour la masse visible.