Trajectoire parabolique

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Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.

Par usage, on parle de trajectoire parabolique (balistique) pour décrire le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements).

[modifier] Exemple

On se place dans un référentiel $R (O, x, y, z)$ galiléen contenant un champ de pesanteur uniforme $\vec g = -g.\vec e_z$ . On se propose d'étudier la trajectoire d'un projectile $M$ , de masse $m$ soumis initialement (à t=0) à une vitesse $\vec v_0$ .

Alors, le projectile est uniquement soumis à son propre poids $\vec P$ (on néglige les effets de frottements fluides). D'après la seconde loi de Newton, le principe fondamental de la dynamique, on a la somme des forces appliquées au système qui est égal à la masse du projectile par son vecteur accélération:

$\sum \vec F = m.\vec a$

Or ici on a $\sum \vec F = \vec P$ , d'où :

$\vec P = m.\vec g = m.\vec a$ , ou encore : $\vec g = \vec a$ .

On peut remarquer que dans le cas d'une chute libre, l'accélération de tout objet, que l'on peut considérer comme ponctuel, a pour accélération, l'accélération de la pesanteur.

Rappel : l'accélération est définie comme la dérivée au cours du temps de la vitesse, elle-même comme la dérivée au cours du temps du vecteur position. On a $\overrightarrow{a_{M/R}} = \frac{\textrm{d}\overrightarrow{v_{M/R}}}{\textrm{d}t} = \frac{{\textrm{d}^2}\overrightarrow{OM}}{\textrm{d}t^2}$

On obtient $\vec a_{M/R} = g.\vec e_z$ .

En intégrant on obtient $\vec v_{M/R} = (gt + v_0)\vec e_z$ .

En intégrant une seconde fois on obtient $\overrightarrow{OM} = (\frac {1}{2} gt^2 + v_0 t)\vec e_z$ puisque à l'origine, le point M est en O, ou encore, en notation vectorielle $\overrightarrow{OM} = \frac {1}{2} \vec g t^2 + \overrightarrow {v_0} t$ .