Transvection

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Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Sommaire

1 Transvection vectorielle
2 Matrice de transvection
3 Transvection affine
4 Transvection projective
5 Transvection euclidienne
6 Réalisation d'une transvection par perspective parallèle
7 Liens internes
8 Sources

[modifier] Transvection vectorielle

Une transvection d'un espace vectoriel $E\,$ est soit l'identité, soit un endomorphisme $f\,$ de $E\,$ tel que l'ensemble des vecteurs invariants $H=ker(f-id)\,$ est un hyperplan de $E\,$ (base de la transvection) et $D=Im(f-id)\,$ (direction de la transvection) est inclus dans $H\,$ (c'est-à-dire que pour tout $x\,$ de $E\,$ , $f(x)-x\,$ appartient à $H\,$ ).

Condition équivalente 1 : $f\,$ est linéaire et $(f-id)^2=0\,$ .

Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire $h\,$ sur $E\,$ et un vecteur invariant $u\,$ tels que pour tout $x\,$ de $E\,$ :

$f(x)=x+h(x)u\,$

Les transvections sont bijectives ( $f^{-1}(x)=x-h(x)u\,$ ) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire de $E\,$ : $SL(E)\,$ . L'ensemble des transvections de base $H\,$ en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif $H\,$ (à $u\,$ de $H\,$ , faire correspondre la transvection $x\mapsto x+h(x)u\,$ ).

[modifier] Matrice de transvection

Dans une base de $E\,$ contenant une base de $H\,$ dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de $D\,$ , la transvection a pour matrice une matrice du type $\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & &\lambda & \\ & & . & & \\ & & & 1 & \\ & & & & 1 \end{bmatrix}=I_n+\lambda E_{ij}$ avec $i\ne j$ . Ces matrices sont appelées matrices de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire $SL_n(K)\,$ .

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est $\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & . & & \\ & & & 1 & 1 \\ & & & & 1 \end{bmatrix}$

[modifier] Transvection affine

Une transvection d'un espace affine $E\,$ est soit l'identité, soit une application affine de $E\,$ dans $E\,$ dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan de $H\,$ de $E\,$ (base de la transvection) et telle que pour tout point $M\,$ le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ reste parallèle à $H\,$ . Les vecteurs $\overrightarrow{MM'}$ forment alors une droite vectorielle $\overrightarrow{D}$ (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle, mais les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donné deux points $A\,$ et $A'\,$ tels que la droite $(AA')\,$ est parallèle à un hyperplan $H\,$ , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base $H\,$ envoyant $A\,$ sur $A'\,$ ; on obtient facilement l'image $M'\,$ d'un point $M\,$ par la construction :

[modifier] Transvection projective

Si l'on plonge l'espace affine $E\,$ dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini $H'\,$ , on sait que l'on peut munir le complémentaire $E'\,$ de l'hyperplan $H\,$ d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de $H\,$ dans $E\,$ deviennent parallèles dans $E'\,$ et celles qui sont parallèles dans $E\,$ deviennent sécantes en un point de $H'\,$ ).

A toute transvection d'hyperplan $H\,$ de $E\,$ est alors associée une application affine de $E'\,$ qui n'est autre qu'une translation !

Les transvections sont donc en fait des translations en perspective... Si l'on regarde par avion une translation de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection :

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que $H\,$ et $H'\,$ à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

[modifier] Transvection euclidienne

Soit $f\,$ une transvection d'un espace euclidien, $\vec n$ un vecteur normal et normé de sa base et $D\,$ sa direction de vecteur directeur normé $\vec u$ .

Avec les notations ci-contre, on a $\overrightarrow {MM'}=\lambda \overline{HM} \vec u$ .

Le nombre $\lambda\,$ est alors le coefficient de la transvection, et l'angle $\theta\,$ , défini par $\tan \theta =\lambda\,$ , son angle.

[modifier] Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

Plongeons l'espace euclidien $E_n\,$ de dimension n comme hyperplan d'un espace $E_{n+1}\,$ de dimension n+1 et faisons tourner $E_n\,$ autour de son hyperplan $H\,$ , de façon à en obtenir une copie $\tilde E_n\,$ .

Tout point $M\,$ de $E_n\,$ a une copie $\tilde M$ dans $\tilde E_n\,$ , donc aussi l'image $M'\,$ de $M\,$ par une transvection de base $H\,$ .

On montre que la droite $(M\tilde M')$ garde une direction fixe $D\,$ , ce qui montre que $\tilde M'$ s'obtient par projection de $M\,$ dans $E_{n+1}\,$ (projection de base $\tilde E_n\,$ et de direction $D\,$ ).