Oscilador harmónico

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

Dise que un sistema calquera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. é un oscilador harmónico se cando se deixa libre, fóra da súa posición de equilibrio, volve cara á posición de equilibrio facendo oscilaciones sinusoidais, ou sinusoidais amortiguadas ó redor desa posición de equilibrio final.

A masa co resorte forman un oscilador harmónico.

O exemplo típico é o dunha masa colgada a un resorte. Cando se afasta a masa da súa posición de repouso, o resorte exerce sobre a masa unha forza que é proporcional ó desequilibrio (distancia á posición de repouso, elongación) e que está dirixida cara á posición de equilibrio. Se se solta a masa, a forza do resorte acelera a masa cara á posición de equilibrio. A medida que a masa achégase á posición de equilibrio e que aumenta a súa velocidade, a enerxía potencial elástica do resorte transfórmase en enerxía cinética da masa. Cando a masa chega á súa posición de equilibrio, a forza será cero, pero como a masa está en movemento, continuará e pasará do outro lado. A forza invírtese e comeza a frear a masa. A enerxía cinética da masa vai transformándose agora en enerxía potencial do resorte. Iso dura ata que a masa para. O proceso recomeza en dirección oposta.

Se toda a enerxía cinética se transformara en enerxía potencial e viceversa, a oscilación seguiría eternamente coa mesma amplitude. Na realidade, sempre hai unha parte da enerxía que se transforma noutra forma, debido á viscosidade do aire ou porque o resorte non é perfectamente elástico. A amplitude diminúe máis ou menos lentamente. Comezaremos por tratar o caso ideal, no cal non hai perdas.

[editar] Oscilador harmónico sen perdas

sexa $\scriptstyle{m}$ a masa e $\scriptstyle{y}$ a distancia entre a posición da masa e a posición de equilibrio. Supoñemos que a forza do resorte é estrictamente proporcional ó desequilibrio: $\scriptstyle{F=-ky}$ . $\scriptstyle{F}$ é a forza e $\scriptstyle{k}$ a constante elástica do resorte. O signo negativo indica que cando $\scriptstyle{y}$ é positiva, a forza é dirixida cara ás $\scriptstyle{y}$ negativas.

A segunda lei de Newton di:

$F=ma=m{dv\over dt}=m{d^2y\over dt^2}$

remprazando a forza temos:

$m{d^2y\over dt^2}= -ky$

A solución desta ecuación diferencial é inmediata: as únicas funcións reais (non complexas) coa segunda derivada sendo a mesma función co signo invertido son seno e coseno. As dúas funcións corresponden ó mesmo movemento. Escollemos arbitrariamente "coseno". A solución escríbese:

A curva de riba da a posición do oscilador en función do tiempo. A do medio da a velocidade. Abaixo están as curvas das enerxías. En azul está a enerxía cinética $\scriptstyle{{1\over 2}mv^2}$ e en vermello a enerxía potencial do resorte $\scriptstyle{{1\over 2}ky^2}$