שיחה:אידאל (אלגברה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מההגדרה לא ברור ההבדל בין אידאל ימני ושמאלי אבנעזר בלפור 08:48, 20 דצמ' 2004 (UTC)

מדוע לא ברור? עבור אחד מתקיימת תכונת הבליעה משמאל ולשני מימין. עם זאת, יכול להיות שיש מקום להזכיר כבר בהתחלה שלא כל חוג הוא קומוטטיבי או אפילו עם יחידה. Amitayk 09:37, 20 דצמ' 2004 (UTC)

תודה (טעות שלי) אבנעזר בלפור 10:48, 20 דצמ' 2004 (UTC)

תוכן עניינים 1 על השינויים שהתבצעו לאידאלים הנאותים 2 אידיאל נתרי? 3 אידיאל או אידאל 4 רק חול וחול

[עריכה] על השינויים שהתבצעו לאידאלים הנאותים

ראשית, הייתה בערך סתירה עם ההגדרה שהוא עצמו נתן. זה שאידאל הוא לא R עדיין לא אומר שהוא נאות, לפי ההגדרה שנכתבה, כי הוא יכול להיות {0} (ואכן, יש מקרים שבהם האידאל המקסימלי הוא 0, אחרת המשפט לפיו בכל חוג יש אידאל מקסימלי היה פשוט לא נכון).

משפט כמו "האידיאלים הנאותים הם האידיאלים המעניינים באמת ולרוב כאשר אומרים סתם "אידיאל" במשפט הכוונה היא לאידיאל נאות." הוא מאוד בעייתי, לדעתי. ראשית, הוא כתוב בסגנון די מרושל ("סתם", "המעניינים *באמת*") אבל הכי בעייתי בו שהוא מנסה לפרש למה אנחנו מתכוונים כשאנחנו משתמשים במילה "אידאל", ואני בכלל לא בטוח שזה נכון. יש מקום (בפרט בערך הזה) שבו חשוב לדעת שכשאנחנו אומרים "אידאל" אנחנו לא מתכוונים לאחד מהטריוויאליים? לרוב מציינים את זה בפירוש. המנעות מציון מפורש של זה תוליד בלבולים מכאן ועד להודעה חדשה. גדי אלכסנדרוביץ' 05:34, 23 אפר' 2005 (UTC)

Mathknight, אני מעריך אותך כתורם המרכזי למתמטיקה בויקיפדיה, אבל השינויים שאתה מבצע כאן פשוט אינם נכונים. אידאל מקסימלי יכול להיות {0}, והשכתוב שלך את הפסקה רק סיבך את העניינים שכן היא הכילה סתירה פנימית בין ההתחלה שלה לסוף שלה. כמו כן, אני לא בטוח שאידאל נאות לא יכול להיות {0} בהכרח, והנה שני מקורות (מכובדים למדי) שתומכים בדעה שלי: [1], [2]. לדעתי יש לשכתב את ההגדרה של אידאל נאות כך שתכלול כל אידאל שאינו החוג כולו. אנא, לפני שאתה עושה שינויים נוספים, הגב כאן לביקורת הזו. גדי אלכסנדרוביץ' 11:34, 23 אפר' 2005 (UTC)

בדקתי את טענתך, וזה בסה"כ עניין של קונבנציות. אני רשמתי את ההגדרה שלימד אותי המרצה שלי (והוא במפורש החשיב את {0} כאידיאל לא-נאות). יתכן שגם כאן יש מספר קונבנציות וטרמינולוגיות (כמו בתחומים אחרים במתמטיקה). אם ההגדרה היותר מקובלת ונפוצה גורסת ש {0} היא אידיאל נאות, אז נשתמש בה. MathKnight 21:03, 24 אפר' 2005 (UTC)

[עריכה] אידיאל נתרי?

למה תיקנו את מה שכתבתי (נתריאני) לנתרי? מעולם לא ראיתי את צורת הכתיבה הזו, אבל בהחלט את צורת הכתיבה נתריאני.

מאותו נימוק שאתה מביא כאן: מעולם לא ראיתי את צורת הכתיבה "נתריאני" אבל ראיתי את צורת הכתיבה "נתרי"... במבחן גוגל "נתרי" לוקח בקושי (אזכור אחד לעומת 0). אני חושב שהכי טוב לפנות למשתמש: עוזי ו. ולשאול אותו מה דעתו (אגב, שים לב שזה לא האידיאל שנתרי, אלא החוג). גדי אלכסנדרוביץ' 06:06, 24 פברואר 2006 (UTC)

[עריכה] אידיאל או אידאל

נראה לי שעדיף אידאל (כמו אלגברה לינארית) - מה דעתכם? אבינעם 23:05, 14 מרץ 2006 (UTC)

השאלה חורגת, כמובן, מתחומי האלגברה. "מילון כיס ספיר", שמשמש אותי לפתרון שאלות כאלה, קובע "אידאל". כדאי לסגור עניין בבוט ההחלפות. דוד שי 05:50, 15 מרץ 2006 (UTC)

על-פי הצעת דוד, נא להמשיך את הדיון בויקיפדיה:בוטים/בוט החלפות/אולם דיונים#אידיאל או אידאל. אבינעם 07:16, 15 מרץ 2006 (UTC)

" קבוצה הסגורה לפעולות החיבור והכפל היא תת-חבורה של החוג, אלא שדרישה זו מתעלמת לחלוטין מן הכפל, ולכן היא אינה מועילה כלל."- המשפט הזה לא סגור על עצמו. אם הקבוצה סגורה רק ביחס לחיבור זוהי תת חבורה (של R כחבורה חיבורית) ואם היא סגורה גם ביחס לכפל זה תת חוג, שאני מעריך שזו היתה הכוונה. בכל מקרה שווה לשנות את המשפט כי כרגע הוא סותר את עצמו.

סתם עניין של הגדרה- כשלמדתי על חוגים ההגדרה של אידאל כללה גם את החוג עצמו (כלומר האידיאלים הטריוויאליים היו {0} וR). אני רואה את היתרון הגדול של ההגדרה הזו כשמדברים על אידאל מקסימלי אבל חוץ מבנושא הזה, זה נראה מיותר ושרירותי.

אתה צודק, גם לי זה נראה שרירותי. כמובן שזה עניין של הגדרה נטו, וספרים שונים מגדירים בצורה שונה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:38, 21 מאי 2006 (IDT)

א. לא ברור מהיכן אתה מצטט את המשפט הראשון. בערך כתוב אחרת לגמרי: "קבוצה הסגורה לפעולת החיבור היא תת-חבורה של החוג, אלא שדרישה זו מתעלמת לחלוטין מן הכפל. קבוצה S שהיא בנוסף סגורה גם לפעולת הכפל נקראת "תת חוג"; אלא שלחוג טיפוסי יש תת-חוגים רבים, וקשה ללמוד מהם על החוג עצמו.".

ב. גדי - שבעתי ציונים. להתבטא כך ממרומי הידע שלך במתמטיקה זו פשוט חוצפה, וחבל שהגענו לידי כך שאהיה מוכרח לומר זאת. עוזי ו. 00:08, 22 מאי 2006 (IDT)

א. אתה מצטט את הערך אחרי שינוי קטן שעשיתי בו... לפני כן היה "קבוצה הסגורה לפעולות החיבור והכפל היא תת-חבורה של החוג, אלא שדרישה זו מתעלמת לחלוטין מן הכפל, ולכן היא אינה מועילה כלל. קבוצה S שהיא בנוסף סגורה גם לפעולת הכפל נקראת "תת חוג". כפי שהערתי בעת ביצוע השינוי, אולי אפשר לשנות את זה בצורה טובה יותר.

נכון, לא הבחנתי שאני מצטט גרסה מתוקנת. הגרסה הקודמת היא מעין שגיאת כתיב (הכפל לגמרי לא שייך למשפט הראשון). עוזי ו. 11:12, 23 מאי 2006 (IDT)

ב. אולי כדאי שנעבור למייל, כי אני לא חשבתי שניסיתי לתת לך ציונים (לא כאן ולא באופן כללי). גדי אלכסנדרוביץ' 07:51, 22 מאי 2006 (IDT)

חבל שאתה לא עונה (לא כאן ולא שם). בכל מקרה, בדקתי בספר שאני משתמש בו בדרך כלל (Dummit & Foote) והם מאפשרים לאידאל להיות כל החוג, ולאידאל שאינו כל החוג קוראים Proper ideal, כך שלצדד ברעיון שגם כל החוג הוא אידאל לא מופרך מיסודו ומקורו רק במרומי הידע שלי במתמטיקה, אבל כמו שאמרתי קודם, זה בסך הכל עניין של הגדרה, והשאלה היא איזה מההגדרות עדיף להביא בתור ה"סטנדרטית". לדעתי הלא המלומדת עדיפה ההגדרה שבה גם החוג כולו היא אידאל, כי במקרה זה אין צורך להתייחס אליו בצורה ספציפית (להגיד במפורש "החוג עצמו אינו נחשב לאידאל") אלא "אידאליותו" של החוג כולו נובעת מההגדרה הבסיסית של אידאל. אשמח לשמוע על מקומות שבהם ההגדרה השניה טובה יותר (או מקובלת יותר). גדי אלכסנדרוביץ' 07:47, 23 מאי 2006 (IDT)

ברור שאין כאן הבדל עקרוני. אפשר לבחור באיזו טרמינולוגיה שרוצים, ואפילו לקרוא לאידיאלים שהחיתוך שלהם עם הרדיקל של ג'ייקובסון אינו טריוויאלי - "גזענים". הם לא יעלבו. אבל בחירת הטרמינולוגיה תלויה במטרות, והמטרות של ספר לימוד בסיסי באלגברה שונות משל אנציקלופדיה. (אני לא מתכוון להתעמת עם הבחירה שלהם, אבל צריך להיות ברור שספרים מתקדמים יותר בוחרים באופן כמעט אחיד באפשרות השניה). יש לבחירה בהגדרה הכוללת יותר כמה יתרונות טכניים (אחידות בטיפול ביוצרים, סכום של אידיאלים וכדומה), וכמה חסרונות מבניים. את הרווח מכך שההגדרה לאידיאל קצרה בתנאי אחד, מפסידים מיד כשמגיעים לנסח את הצעד החשוב הראשון בתורת המבנה: כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי (שאינו שווה לכל החוג, כמובן). אחר-כך משלמים על ההחלטה הזו בריבית דריבית, כאשר מגדירים חוג מנה (המנה R/R אינה חוג, משום שאין בה איבר יחידה). כאן אפשר לראות שבחירת ההגדרה היא גם עניין של עקביות - מכיוון שחוג הוא תמיד חוג עם יחידה, החוג עצמו אינו יכול להיות אידיאל. יש עוד כמה שיקולים, אבל הטלת מטבע לא היתה ביניהם. עוזי ו. 11:12, 23 מאי 2006 (IDT)

ההסבר מקובל עלי (למען הסר ספק, לא טענתי שהייתה הטלת מטבע), אם כי הוא פותח פתח למריבה הגדרתית קשה עוד יותר - האם להגדיר "חוגים" ו"חוגים בלי יחידה" (דומני שיש ספרים שמכנים אותם Rngs?) או דווקא להגדיר "חוגים" ו"חוגים עם יחידה". במקרה הזה, בשתי ההגדרות כבר נתקלתי במהלך הלימודים האלמנטריים שלי, ואין לי מושג מה עדיף (אני מנחש שעדיף להגדיר חוג מלכתחילה עם יחידה ולדבר בנפרד על חוגים בלי). גדי אלכסנדרוביץ' 11:34, 23 מאי 2006 (IDT)

יש נימוקים לכאן ולכאן, אבל העקביות (גם מעבר לפני השטח) חשובה מכל. עוזי ו. 16:25, 28 מאי 2006 (IDT)

[עריכה] רק חול וחול

בהגדרה של אידיאל שמאלי בתור קבוצה הסגורה לכפל באברי החוג משמאל, אין אפילו בחירה של טעם. לא ידוע לי ולו על מקור אחד שבו ההגדרה הפוכה לזו שנמצאת בערך. עוזי ו. 09:10, 28 מאי 2006 (IDT)

לי זכור שנתקלתי במקום מסויים בהגדרה ה"הפוכה" וזה נראה לי מאוד מוזר. לצערי אני לא זוכר את המקום. גדי אלכסנדרוביץ' 13:57, 28 מאי 2006 (IDT)