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טור דיריכלה - ויקיפדיה

טור דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

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במתמטיקה, טור דיריכלה הוא טור של מספרים שלמים בחזקות שליליות. יש לו תפקיד חשוב בתורת המספרים האנליטית. הטור קרוי על שמו של יוהן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.

[עריכה] הגדרה

טור דיריכלה הוא טור מהצורה הבאה:

f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}.

[עריכה] דוגמאות

טור הדיריכלה המפורסם ביותר הוא:

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},

שהוא פונקציית זטא של רימן. טור דיריכלה אחר הוא

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

כאשר \!\,\mu(n) היא פונקציית מביוס. טורים נוספים אפשר לפתח על ידי הפעלת נוסחת ההיפוך של מביוס וקונבולוציית דיריכלה על סדרה ידועה.

זהויות אחרות כוללות את

\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}

כאשר \ \phi(n) היא פונקציית אוילר, ו-

\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}
\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

כאשר \ \sigma_{a}(n) היא פונקציית המחלקים.


מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%98/%D7%95/%D7%A8/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%93%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%9C%D7%94.html
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