משתמש:כחלון/ארגז חול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

גיאומטריה פרויקטיבית (ליצור הפניה גיאומטריה פרוייקטיבית)

גאומטריה פרויקטיבית היא גאומטריה לא אוקלידית. בה אקסיומת המקבילים אינה מתקימת. הגאומטריה מוגדרת כך שכל שני ישרים נפגשים בִּנְקֻדָּה יחידה (כלומר, אין ישרים מקבילים).

תוכן עניינים

1 הגדרה רשמית
2 מרחבים פרויקטיביים מעל שדות אינסופיים
3 מרחבים פרויקטיביים מעל שדות סופיים
4 העתקות פרויקטיביות
5 יחס כפול בין נקדות
6 בטוי מפורש ליחס הכפול של רביעית נקדות
- 6.1 שניוניות במרחב פרויקטיבי
- 6.2 תפיסה אינטואיטיבית של המושגים (מתוך Morris Kline)

[עריכה] הגדרה רשמית

נתון מרחב $\ V=F^n$ . המרחב הפרויקטיבי מממד n מעל השדה F, שיסומן $\ P_F(n)$ , מוגדר בתור: $\ V \setminus \{0,0\}$ תחת יחס השקילות $x \sim\ y \Leftrightarrow\ \exists\ \lambda\ \ne\ 0 : x={1 \over \lambda\ \ } y$ .

[עריכה] מרחבים פרויקטיביים מעל שדות אינסופיים

במקרה שהשדה עליו מוגדר המרחב הוא אינסופי, כדגמת R. כל נקדה במרחב הפרויקטיבי היא מחלקת שקילות במרחב המקורי, המיצגת ישר מנוקב (בלא הראשית). בהנתן ישר מנוקב כלשהו, יש לבחור אבר שייצג אותו. כמוסכמה, נהוג לבחור על-מישור כלשהו במרחב המקורי, וליצג כל ישר באמצעות החתוך שלו את הנקדה.

לדגמה, נקח את המרחב האוקלידי $\ R^2$ . נבחר בו את העל-מישור $\ H:=\{(x,y) | x=1\}$ , המצויר באיור 1 בקו עבה. נבחר כדגמה את הישרים L₁ ו-L₂, המסומנים באיור 1 בקוים מקוקוים. הישר $\ L_1$ חותך את העל מישור H בנקדה (1,1), ולכן נְיַצֵּג אותו במישור הפרויקטיבי ע"י נקדה זו. באופן דומה, ניצג את הישר $\ L_2$ באמצעות הנקדה (1,2), בה הוא חותך את H.

באופן הזה אנו מקבלים העתקה של כל ישר במישור $\ R^2$ אל העל מישור H... למעט ישר יחיד. לישר $\ \bar L\ := \{(0,y) | y \in\ R\}$ אין נקדת חתוך עם H, ולכן אין לו יצוג כפי שתארנו במרחב הפרויקטיבי. מסיבה זו, נהוג ליצג את $\ \bar L\$ באמצעות נקדה מיוחדת, המסומנת $\ \infty\$ , עליה נפרט בקרוב.

כלומר, נתן לזהות את המרחב $\ P_R(2)$ (המרחב הפרויקטיבי מעל $\ R^2$ , שהוגדר לעיל), עם ישר ( $\ \{(x,y) | x=1\}$ ) ונקדת אינסוף.

נקדת האינסוף ב- $\ P_R(2)$ תואמת את השמוש המקובל באינסוף, במובן הבא: נתבונן בסדרת הנקדות $\ P_n := \{(x,n) | n /in/ N\}_1^\infty\ \subset\ P_R(2)$ , המתוארת בציור. נרצה להראות שהסדרה שואפת לנקדת האינסוף. הנקדות בסדרה הן היצוג של סדרת הישרים $\ L_n := \{(x,nx) | x \in\ R\}_{n=1}^\infty\$ . סדרת הישרים שואפת לישר $\ \bar L\$ דלעיל (למשל, במובן שההטלה של $\ L_n$ על ציר ה-X שואפת ל-0). כך, נקדת האינסוף היא נקדה מוגדרת במרחב המהוה את "סופו" של הישר. יש לשים לב, אגב, שישנה נקדה אחת עבור האינסוף, ולא שתים ( $\ \pm\ \infty\$ ), בדומה, למשל, לכדור רימן.

[העברת נקדה במרחב למרחב הפרויקטיבי המוגדר עליו, היא לפי $\ (x_1,x_2,...x_n) \in\ F^n \longrightarrow\ (t,tx_1,tx_2,...tx_n) \in\ P_F(n)$ ]

[עריכה] מרחבים פרויקטיביים מעל שדות סופיים

[עריכה] העתקות פרויקטיביות

בהנתן מרחב $\ V:=F^n$ , נבחר העתקה לינארית רגולרית כלשהי $\ T:V \rightarrow\ V$ . העתקה זו מעבירה בין ישרים ב-V. לפיכך, היא משרה העתקה (לא בהכרח לינארית) על P(V), המכונה העתקה פרויקטיבית. כל תת-מרחב k-ממדי ב-V מיוצג ע"י תת-מרחב k-1 ממדי ב-P(V). מכיון ש-T מעבירה בין תת-מרחבים של V, הרי שהיא מעבירה גם בין תת-מרחבים של P(V) (למשל, בין ישרים).

בהנתן n וקטורים בלתי-תלויים ב-V ישנה העתקה לינארית יחידה המעבירה ביניהם (שהרי n הוקטורים מהווים בסיס, ואם נציג את המטריצה של ההעתקה לפי בסיס זה, נקבל מטריצה יחידה). באופן דומה נתן להראות כי בהנתן n נקדות במצב כללי ב- $\ P_F(n)$ ישנה העתקה פרויקטיבית יחידה המעבירה ביניהן.

נתן ליצג נקדה במרחב הפרויקטיבי מעל $\ F^d+1$ באמצעות $\ \{t \cdot\ (x_1,...x_{d+1}) | t \in\ F\}$ . בהנתן נקדה $\ p$ נבחר לה את היצוג הקנוני $\ (1,x_1,...x_d+1)$ . אם הנקדה היא נקדת אינסוף, הקואורדינטה הראשונה שלה מאופסת. העתקה פרויקטיבית T מושרה מהעתקה רגולרית במרחב, ולכן נתן ליצגה ע"י מטריצה קבועה עד כדי סקלר: $\begin{pmatrix} \alpha\ & \beta\ \\ \gamma\ & A \end{pmatrix}$ כש-A היא מטריצה d x d, ו- $\ \beta\ , \gamma\$ הם וקטורי שורה ועמודה, בהתאמה, מממד d. נכפיל: $T \cdot\ p = \begin{pmatrix} \alpha\ + <\beta\ \cdot\ x> \\ \gamma\ + A \cdot\ x \end{pmatrix}$ , וביצוג הקנוני נקבל העתקה $\ x \rightarrow\ {\gamma\ + A \cdot\ x \over \alpha\ + <\beta\ \cdot\ x>\ }$ . כלומר, על-מישור שלם במרחב (הנתון לפי $\ H:= \{x | < \beta\ , x> = -\alpha\ \}$ ) יעבור לנקדות אינסוף. במקרה הפרטי בו x מממד 1, נקבל את העתקת מוביוס.

[עריכה] יחס כפול בין נקדות

בהנתן ישר פרויקטיבי, ועליו ארבע נקדות, a,b,c,d, כש-a,b,c הן שונות, ישנה העתקה יחידה המעתיקה את a לאינסוף, b ל-0 ו-c ל-1. התמונה של הנקדה d מוגדרת בתור היחס הכפול של רביעיית הנקדות, והיא תסומן (a,b,c,d).

יחס כפול הוא תכונה המשתמרת תחת העתקות פרויקטיביות. כלומר, בהנתן ארבע נקדות a,b,c,d, המועתקות ל-a',b',c',d' בהתאמה ע"י העתקה פרויקטיבית T, אזי היחסים הכפולים (a,b,c,d) ו-(a',b',c',d') שוים. שכן, אם נסמן P את ההעתקה (היחידה) המעתיקה את a' לאינסוף, b' לאפס ו-c' לאחת, אזי $\ P(d') = (a',b',c',d')$ (מהגדרת היחס הכפול), וְאִלּוּ ההרכבה $\ P \cdot\ T$ תעתיק את a לאינסוף, את b לאפס, את c לאחת ואת d ל-(a,b,c,d)=(a',b',c',d').

[עריכה] בטוי מפורש ליחס הכפול של רביעית נקדות

תהא רביעית נקדות $\ a= \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}$ , $\ b= \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix}$ , $\ c= \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \end{pmatrix}$ , $\ d= \begin{pmatrix} d_0 \\ d_1 \end{pmatrix}$ .

נבטא את c כצרוף לינארי של a ו-b: $\begin{pmatrix} a_0 & b_0 \\ a_1 & b_1 \end{pmatrix} \cdot\ \begin{pmatrix} \alpha\ \\ \beta\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \end{pmatrix}$ . עתה, אם העתקה פרויקטיבית T מעתיקה את $\ \alpha\ \cdot\ a$ לאינסוף ואת $\ \beta\ \cdot\ b$ לאפס, נקבל: $\ T(c)=T \alpha\ a + \beta\ b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1$ . כלומר, T תעתיק את d אל היחס הכפול (a,b,c,d). כדי לבטא את היחס הכפול נבטא את d כצרוף לינארי של a ו-b: $\ d = \gamma\ a + \delta\ b$ . כך נקבל: $\ T(d) = T( {\gamma\ \over \alpha\ \ } \cdot\ (\alpha\ a) + {\delta\ \over \beta\ \ } \cdot\ (\beta\ b)) = {\gamma\ \over \alpha\ \ } \cdot\ (0,1) + {\delta\ \over \beta\ \ } \cdot\ (1,0) = (1, {\beta\ \delta\ \over \alpha\ \gamma\ \ } )$ ביצוג קנוני. בטוי מפורש לאלפא ולביתא אפשר לקבל מנסחת קרמר: $\ \alpha\ = { \begin{vmatrix} c_0 & b_0 \\ c_1 & b_1 \end{vmatrix} \over \begin{vmatrix} a_0 & b_0 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} }$ . $\ \beta\ = { \begin{vmatrix} a_0 & c_0 \\ a_1 & c_1 \end{vmatrix} \over \begin{vmatrix} a_0 & b_0 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} }$ ובאופן דומה: $\ \gamma\ = { \begin{vmatrix} d_0 & b_0 \\ d_1 & b_1 \end{vmatrix} \over \begin{vmatrix} a_0 & b_0 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} }$ . $\ \delta\ = { \begin{vmatrix} a_0 & d_0 \\ a_1 & d_1 \end{vmatrix} \over \begin{vmatrix} a_0 & b_0 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} }$ .

מתוך בטוי מפורש זה ליחס הכפול, נתן לראות מהי ההשפעה של החלפת זוג קואורדינטות ברביעית הנקדות על היחס הכפול. בבהנתן רביעית נקדות בעלת סדר הרמוני $\ \lambda\$ , שנוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

$(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}$ $(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}$ $(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\,$ $(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}$ $(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}$

[רביעיה הרמונית]

[עריכה] שניוניות במרחב פרויקטיבי

נתן למין את השניוניות ב- $\ R^2$ עד כדי שקילות. כאשר זוג שניוניות שיש ביניהן העתקה לינארית והזזה הן שקולות. ישנן שבע מחלקות: א. קבוצה ריקה. ב. נקדה. ג. ישר. ד. זוג ישרים מקבילים. ה. זוג ישרים נחתכים. ו. אליפסה/עגול. ז. היפרבולה. ח. פרבולה.

אם נמין את השניוניות במישור הפרויקטיבי $\ P_R(2)$ , עד כדי העתקה פרויקטיבית, נקבל חמש מחלקות: א. קבוצה ריקה. ב. נקדה. ג. ישר. ד. זוג ישרים כלשהו. ה. אליפסה/עגול, היפרבולה ופרבולה.

זוג הישרים "המקבילים, וזוג הישרים הנחתכים נמצאים באותה מחלקת השקילות. זאת מכיון שגם לזוג הישרים "המקבילים" ישנה נקדת חתוך במישור הפרויקטיבי, היא נקדת האינסוף. לכן, העתקה המעבירה נקדת חתוך סופית לנקדת אינסוף, יכולה להעביר זוג ישרים נחתכים למקבילים, וכן בכיוון השני. באופן דומה, בהנתן אליפסה במשור הפרויקטיבי, נתן להעביר אותה לפרבולה או להיפרבולה. נבחר בהעתקה פרויקטיבית המעתיקה ישר L כלשהו לישר האינסוף במישור הפרויקטיבי (הישר המחבר את כל נקדות האינסוף). אם L הוא ישר המשיק לאליפסה, נקדת ההשקה תעבור לנקדת אינסוף, וכך האליפסה תועתק לפרבולה. באופן דומה, אם L חותך את האליפסה, נקדות החתוך תועברנה לשני נקדות אינסוף, ובכך תתקבל היפרבולה.

באופן דומה, נתן למין את כל השניוניות במרחב הפרויקטיבית $\ P_R(3)$ , עד כדי העתקה פרויקטיבית, לשמונה מחלקות שקילות.

[עריכה] תפיסה אינטואיטיבית של המושגים (מתוך Morris Kline)

משמשת להעברת העולם התלת-ממדי אל בד הציור, באמצעים של הטלה נקדתית (מבט באמצעות עין אחת מנקדה קבועה). העקרון הבסיסי הוא הטלה וקביעת מישור חותך. הטלה - קִבּוּע של נקדה E ומתיחת קוים מכל הנקדות במרחב לנקדה E. לאחר מכן קובעים מישור P ובוחרים את נקדות החתוך של הישרים עם המישור P כנקדות המוטלות.

נתן לראות באיור 3 שזויות, ארכים ושטחים אינם נשמרים תחת הטלה וחתוך. כמו גם מקבילות של קוים. עולה השאלה אלו תכונות נשמרות. קו ישר נותר ישר, נשמרת חילה של נקדות בקוים (להראות דגמא תוך שמוש בגאומטריה אנליטית). משפט דסרג היה הדגמא הראשונה לתכונה הנשמרת תחת הטלה:

נתונים משולש ABC ומשולש A'B'C' המהוה הטלה שלו מנקדה O (אומרים שהמשולשים נמצאים בפרספקטיבה ביחס לנקדה O). אזי חתוך המשכי הצלעות המתאימות בין המשולשים (כלומר החתוך של AB עם A'B', החתוך של BC עם B'C' והחתוך של AC עם A'C') נמצאים על ישר אחד. כזכור, המשכי הקוים נפגשים תמיד במישור הפרויקטיבי (בכך הישר הוא בעל מבנה הדומה למעגל. אין להסחק מכך שארכו סופי). כמו כן, ב"ישר האינסוף" חלות כל הנקודות הסופיות.

חשוב לזכור כי הגאומטריה הפרויקטיבית נבעה מהראיה, וקוים מקבילים אינם קימים בראיה (הכונה לקוים בעלי רכיב המתרחק לאפק).

משפט נוסף הוכח ע"י פסקל, שדסרג המריץ לחקור את התכונות הנמשרות תחת העתקות פרויקטיביות. משפט פסקל טוען: יהא משושה ABCDEF החסום במעגל. ישנן למשושה שלש זוגות צלעות נגדיות: AB ו-DE, BC ו-EF, CD ו-AF. אם נמשיך את הצלעות עד שהמשכי הצלעות הנגדיות נחתכות, אזי חתוכי המשכי הצלעות הנגדיות יהיו על ישר אחד. הקשר של המשפט לגאומטריה פרויקטיבית הוא בכך שהטלה של המעגל (שתיצור חתך חרוטי), תשרה משושה מוטל החסום בהטלה, ואף לגביו יתקיים המשפט. הענף נזנח במשך מאתים שנים, בין היתר עקב העליה המטאורית של הגאומטריה האנליטית והחשבון האינפיניטסימלי. פונסלה (poncelet) תלמידו של מונגה (monge) מחדש את הענף בשבי הרוסי. נתן לראות באיור כי האורך אינו נשמר תחת ההטלה, ואף לא יחס הארכים בין הקטעים. אולם, מתברר כי היחס בין היחסים, , שנקרא היחס הכפול של A,B,C,D, נשמר בהטלה (כשכיון כלשהו נקבע חיובי, והכיון ההפוך שלילי). מהו הפרוש הגאומטרי להעתקה פרויקטיבית? האם המעבר של A,B,C,D ל-A',B',C',D' באמצעות חתך אחר על הקרנים היוצאות מ-O? אם כן, האם נתן גם להחליף את O. כלומר האם זוהי (1)הטלה ו (2)חתוך [בהנתן 4 נקודות: (1) בחירת O וחבור הנקודות אליה; (2) בחירת ישר החותך את הקרנים, וסימון נקודות החתוך שלו אתן]. בשני המובנים להעתקה פרויקטיבית היחס הכפול נשמר. באופן זה נתן להבין מדוע חתך חרוטי מוטל לחתך חרוטי אחר.

${A'C'\over C'B'} : {A'D'\over D'B'}$