עיגולי גרשגורן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה לינארית, עיגולי גרשגורן מסייעים להערכת גודל הערכים העצמיים של מטריצה, באמצעות חישוב פשוט.

[עריכה] תיאור פורמלי

תהא $\ A$ מטריצה מסדר $\ n\times n$ מעל הממשיים או המרוכבים. נסמן $\ R'_i(A)=\sum_{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|$ . כלומר, $\ R_i'(A)$ הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה מספר $\ i$ , פרט לאיבר שנמצא באלכסון.

כעת, כל הערכים העצמיים של $\ A$ נמצאים באיחוד העיגולים הבא:

$\ \bigcup_{i=1}^n\left\{z\isin\mathbb{C}:|z-a_{ii}|\le R_i'(A)\right\}$ .

הקבוצה המתוארת היא איחוד של $\ n$ עיגולים סגורים במישור המרוכב, שמרכז כל אחד מהם הוא אחד מאיברי האלכסון הראשי של $\ A$ , והרדיוס של כל עיגול הוא סכום הערכים המוחלטים של אברי השורה של המרכז, פרט לאיבר זה עצמו.

עוד אומר המשפט כי אם $\ k$ מתוך העיגולים הללו יוצרים רכיב קשירות נפרד מ- $\ n-k$ העיגולים האחרים, הרי שאותו רכיב קשירות מכיל בדיוק $\ k$ מבין הערכים העצמיים.

[עריכה] מסקנות

מטריצה בעלת אלכסון שולט (diagonal dominant matrix) היא מטריצה שבה הערך באלכסון (בערכו המוחלט) גדול מסכום יתר האיברים בשורתו (בערכם המוחלט), כלומר $\ \forall i: |a_{ii}|>R_i'(A)$ . תוצאה מיידית של משפט גרשגורן היא: אם מטריצה היא בעלת אלכסון שולט אז המטריצה היא הפיכה. זאת מאחר שמטריצה היא הפיכה אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, אבל שליטה אלכסונית חזקה מבטיחה שכל אחד מהעיגולים אינו מכיל את ראשית הצירים (כי המרחק של מרכזם מהראשית גדול מרדיוס העיגול).

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A2/%D7%99/%D7%92/%D7%A2%D7%99%D7%92%D7%95%D7%9C%D7%99_%D7%92%D7%A8%D7%A9%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%9F.html

קטגוריה: אלגברה

עיגולי גרשגורן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] תיאור פורמלי

[עריכה] מסקנות

Views

ניווט

קהילה

חיפוש