שיחה:פרדוקס המעטפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אתמול 24.6.2006 הצעתי פתרון משלי לפרדוקס, אך עקבותיו נעלמו. כנראה שלחצתי על כפתור לא נכון כלשהו.

הפתרון המוצע במאמר אינו עונה לשאלה הבאה:

נניח שאני משנה במקצת את תנאי השאלה:
המארגן רושם סכום אקראי X על מעטפה א.
לאחר מכן הוא מטיל מטבע, ולפי התוצאה הוא מחליט לרשום במעטפה ב את הסכום X/2, או את הסכום 2X.
אפשר גם להניח שאני לא רשאי להציץ לתוך המעטפה, ועלי להחליט מראש: להחליף או לא ?

אם כן, יחס המכפלה בין המעטפות הוא אקראי לחלוטין (הטלת מטבע!).

עכשיו מסתבר שהפתרון המוצע לא עובד.
הפתרון המוצע גם מוזר ובלתי קביל. יש שם הכרזה "היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך ש'בדרך כלל' הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח". הכרזה חסרת נימוק.
הלא לפי תנאי הטלת המטבע שהכרזתי עליו, הסיכו להפסיד הוא בדיוק 50% !! לכן פתרון הפרדוקס שהוצע נראה לי כבלתי תקף.

פתרוני:
אני טוען בפשטות כי יש כאן הנחה סמויה שגויה. הדילמה השגויה היא:
50% סיכוי שבידי X ובמעטפה השניה 2X
50% סיכוי שבידי X ובמעטפה השניה X/2

הדילמה הנכונה היא:
50% סיכוי שבידי X ובמעטפה השניה 2X. סוף שורה.
50% סיכוי שבידי Y ובמעטפה השניה Y/2. סוף שורה.
הסכומים X Y שונים! אין כאן "מטבע אחיד".

הפתרון המלא והנכון:

25% סיכוי שביידי מעטפה א עם סכום X. במעטפה ב יש סכום 2X. סוף שורה.
25% סיכוי שביידי מעטפה א עם סכום X. במעטפה ב יש סכום X/2. סוף שורה.
25% סיכוי שביידי מעטפה ב עם סכום X/2. במעטפה א יש סכום X . אל נשכח שבמעטפה א "יושב" תמיד הסכום ה"מקורי" X. סוף שורה.
25% סיכוי שביידי מעטפה ב עם סכום 2X. במעטפה א יש סכום X. סוף שורה.
עכשיו אין פרדוקס.

זה הפתרון המלא והנכון! יש כאן "מכנה משותף" מוסכם: במעטפה א תמיד יש סכום X. סוף שורה

fedida@runbox.com

ראשית, הסיכוי להרוויח, בהינתן הסכום שנמצא במעטפה שלך, אינו בהכרח 50% (זכור שיש כאן הסתברות מותנית). למשל, אם היינו יודעים שהסכומים נעים בין 1 ל-10, והייתי פותח את המעטפה שלי ורואה 1, היה ברור לי שהסיכוי שלי להרוויח אם אחליף הוא 100%. אם הייתה התפלגות אחידה על כל הסכומים האפשריים הבעיה הייתה נעלמת, אלא שבניסוח הנוכחי של הפרדוקס זה אינו המצב.

שנית, בהצגה שלטענתך היא ה"נכונה" לא ברור מדוע ה"מטבע אחיד" הזה בעייתי. בפרט, זכור ש-X הוא המספר היחיד שאותו מכיר פותח המעטפה, ושממנו הוא מקיש לא רק על השאלה האם יש לו את המעטפה עם הסכום הגדול או הקטן יותר (שאלה שבה אין לו סיכוי להכריע וההסתברות בה היא 50%) אלא גם בשאלה מהם סכומי הכסף המעורבים בבעיה. גדי אלכסנדרוביץ' 18:28, 25 יוני 2006 (IDT)

תשובתי: 1. כיצד אתה מסביר את הפרדוקס כשאני לא רשאי להציץ לתוך המעטפה? לשיטתי, אין בעיה ! לשיטתך - כנראה שיש. 2. אז מה? נכון שהסכום היחידי שאני מכיר הוא הסכום שבמעטפה (במקרה שאני רשאי להציץ). מי אמר שאני חייב לקבוע שהוא הנעלם במשוואותי? דווקא הסכום היחיד שידוע לי? הסכום שצריך להתחיל ממנו הוא הסכום שבמעטפה א, שאינו ידוע. זאת לא המצאה שלי, אני פשוט נצמד לנתונים.

בברכה

העריכה שלך מאתמול נקלטה, ולא היתה שום בעיה טכנית. היא שוחזרה משום שניגשת לערך קיים ומושקע, ומחקת ממנו חלק חשוב בלי שום נסיון להסביר את מעשיך בדף השיחה או בתקציר העריכה.

לענין עצמו: אתה טועה בפתרון שלך. למרות שמדובר בפרדוקס-לכאורה והתוצאה עלולה לבלבל, אי אפשר לחשב הסתברויות בדרך שאתה מציע. למלה "סיכוי" אין משמעות (מתמטית) ללא מרחב מדגם, ומרחב המדגם תלוי בנתונים. אם טרם פתחת את המעטפה, ההסתברויות להרוויח ולהפסיד שוות. אם כבר פתחת את המעטפה, Y ידוע, ושום מאמץ לא יעזור לשכוח אותו. כל חישובי ההסתברות מאותו רגע הם בהנתן Y. העובדה שהמארגן בוחר X ואז מחליט (בסיכוי 50%) לחלק אותו ב- 2 היא לחלוטין לא רלוונטית, למעט טשטוש העובדה שהחישובים חייבים להתבצע בהנתן Y ולא בהנתן X (שאינו ידוע). עוזי ו. 22:27, 25 יוני 2006 (IDT)

לעוזי:

לא התכוונתי שעליך לשכוח את המספר (זה מטופש), אלא שלא ראית אותו מעולם. כלומר: המעטפה בידיך, אינך רשאי להציץ פנימה. לפי שיטתך הפרדוקס קיים. לשיטתי אין פרדוקס.

אתה אומר: "אם טרם פתחת את המעטפה, ההסתברויות להרוויח ולהפסיד שוות". זה נכון. או שאתה מפסיד חצי X או שאתה מרוויח X שלם (לשיטתך). התוחלות לא שוות. נא הסבר מדוע לא אבחר במעטפה השניה. דרך אגב, הפכת את המילה "סיכוי" למילה הסתברות? הלא אמרת כי המונח "סיכוי" הוא בלתי מוגדר??.

אתה טוען שהמושג "סיכוי" לא מוגדר. אתה נתלה בקטנות. אין בעיה לנסח את השאלה אחרת ללא המילה "סיכוי". או להכנס לפרוט נוסף. הטענה נראית לי לא רלוונטית.

אני מודע היטב לכך שיש בעיתיות של בחירת מספר אקראי מתוך האינסוף. זה אינו בהכרח קשור לבעיה. הפרדוקס קיים (לשיטתך, לא לשיטתי) עם הבעיה הזו ובלעדיה. כלומר - זה כלל אינו רלוונטי לפתרון !!

אתה עומד על כך ש "בהנתן X" (בהנחה שאתה רואה את תוכן המעטפה). זה בסדר שיש לך נתון שאתה רוצה לכנותו X (אני מעדיף לכנותו a בגלל שזה הכתיב המקובל לגודל שערכו ידוע). הוא לא חייב להיות נושא הנוסחה! נושא הנוסחה הוא X המסתתר במעטפה א! ואז אתה מגיע לניתוח שהצגתי.

ניתוח זה נטול סתירות.

לידיעתך, נתקלתי בעבר בבעיה הזו, ו"פתרתי" אותה בערך כמו שאתה "פתרת". לאחר מעשה הגעתי למסקנה שהפתרון אינו רלוונטי. הוא פשוט פותר בעיה אחרת. (יש לי עדיין את מסמך הוורד מאותה תקופה). אז הגעתי לפתרון שהצגתי.

בברכה, חיים

כמו ויכוחים דומים רבים על "פתרונות" לפרדוקסים, הבעיה שבשורש הויכוח הזה נעוצה בכך שאתה מסרב לקבל את ההגדרה שמובילה לפרדוקס ו"פותר" את הפרדוקס על ידי התעלמות ממנה. זה אולי (אולי!) נכון, אבל לא עוזר לאלו שלא מקבלים את ההגדרה שלך וכן נתקלים ב"פרדוקס". לכן הדיון הזה, כמו הרווח שבהחלפת מעטפה, הוא חסר תוחלת. גדי אלכסנדרוביץ' 12:47, 28 יוני 2006 (IDT)

1. כדאי לייצב את הטרמינולוגיה: במעטפות שמים X ו- 2X, והערך במעטפה שקיבלנו הוא Y (ששווה, כמובן, לאחד מהם). בפרט, הניתוח לאחר פתיחת המעטפה הוא "בהנתן Y" (או - "בהנתן ש- Y=y") ולא "בהנתן X".

2. ההבדל בין "סיכוי" ו"הסתברות" הוא מתודי בלבד. למלה הראשונה יש משמעויות נוספות, בעברית לא מתמטית.

3. בניסוחו השגור, הפרדוקס מבוסס על הטענה האינטואיטיבית שכביכול, מכיוון שלא נקבעה ההתפלגות של X במפורש, הסיכויים לעבור מ- Y ל- 2Y ול- Y/2 הם שווים. לא חשוב מהי ההתפלגות של X, הטענה הזו לעולם אינה נכונה.

4. יש שני מצבים שאפשר לשקול: החלטה לפני שהמעטפה הנבחרת נפתחה, והחלטה אחרי שהיא נפתחה.

4.א. אם המעטפה נפתחה, אפשר (עקרונית) להשוות את הערך שכתוב בה להתפלגות; לפעמים כדאי יהיה להחליף, ולפעמים לא. אין כאן שום פרדוקס.

4.ב. אם המעטפה טרם נפתחה (והתוחלת של X - ולכן של Y - סופית), אפשר לחשב במדוקדק את תוחלת הרווח בשתי האיסטרטגיות, ולהגיע למסקנה הבלתי נמנעת שזה לא משנה אם נחליף את המעטפות או לא.

4.ג. אם המעטפה טרם נפתחה (והתוחלת של X אינסופית), כדאי לכאורה להחליף אותה - זה נקרא פרדוקס סנט-פטרסבורג ואני מעדיף שלא לדון בו כאן (בוודאי שלא לפני שהעניין הפשוט יותר הוסבר כראוי).

5. הניתוח שלך, שבו מופיעות הסתברויות לא נכונות (50% וכדומה), שגוי בתכלית. עוזי ו. 13:07, 28 יוני 2006 (IDT)